黎曼幾何講義

內(nèi)容概要

　　Riemann幾何是Gauss古典曲面論的自然推廣，是現(xiàn)代微分幾何的重要基礎(chǔ)。  　本書內(nèi)容包括Riemann度量，Levi-Civita聯(lián)絡(luò)，曲率張量，測(cè)地線，指數(shù)映照，完備性，Jacobi場(chǎng)和共軛點(diǎn)，等距和全測(cè)地子流形，Cartan-Hadamard定理，空間形式，測(cè)地線的第一、第二變分公式及其應(yīng)用（如Bonnet-Myers定理，Weinstein定理等），Morse形式與Morse指標(biāo)定理，割跡與單射半徑，比較定理，體積與體積比較定理等內(nèi)容，涵蓋了經(jīng)典“整體黎曼幾何”的基本內(nèi)容。這些內(nèi)容可供已經(jīng)學(xué)過微分流形基礎(chǔ)的學(xué)生學(xué)習(xí)?！　”緯勺鳛閿?shù)學(xué)專業(yè)研究生教材，也可供高等學(xué)校數(shù)學(xué)系及物理系本科生，研究生及有關(guān)科研人員參考。

書籍目錄

1 引言2 Riemann度量3 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)4 曲率張量5 測(cè)地線，指數(shù)映照，測(cè)地凸鄰域6 完備性7 Jacobi場(chǎng)和共軛點(diǎn)8 等距和全測(cè)地子流形9 Cartan-Hadamard定理10 空間形式11 測(cè)地線的第二變分公式及其應(yīng)用12 Morse指標(biāo)形式與Morse指標(biāo)定理13 割跡和單射半徑14 比較定理15 體積和體積比較定理附錄　Ⅰ. 微分流形（微分流形的定義和例子，可微函數(shù)與可微映照，子流形，切空間、余切空間、映照的微分，Sard定理，單位分解，F(xiàn)robenius定理）?、? 外微分和積分（張量叢，外微分，外微分式的積分，Stokes公式）索引參考文獻(xiàn)

編輯推薦

　　人類的文明進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展，無時(shí)無刻不受到數(shù)學(xué)的恩惠和影響，數(shù)學(xué)科學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展牢固地奠定了它作為整個(gè)科學(xué)技術(shù)乃至許多人文學(xué)科的基礎(chǔ)的地位，當(dāng)今時(shí)代，數(shù)學(xué)正突破傳統(tǒng)的應(yīng)用范圍向幾乎所有的人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，它和其他學(xué)科的交互作用空前活躍，越來越直接地為人類物質(zhì)生產(chǎn)與日常生活作出貢獻(xiàn)，也成為其掌握者打開眾多機(jī)會(huì)大門的鑰匙，黎曼幾何是高斯古典曲面論的自然推廣，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，也是理論物理中愛因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，現(xiàn)在研究數(shù)學(xué)，特別是研究與幾何相關(guān)的問題，往往都基于黎曼幾何的框架，或與黎曼幾何有某種聯(lián)系，黎曼幾何知識(shí)對(duì)當(dāng)代數(shù)學(xué)家，特別對(duì)幾何學(xué)家來說是不可或缺的，本講義在充分研究測(cè)地線的基礎(chǔ)上，再用測(cè)地線作為工具，簡明扼要地探討黎曼流形的幾何性質(zhì)，證明各種常用的“比較定理”，力求概念明了，思路清晰，全書內(nèi)容涵蓋了經(jīng)典“整體黎曼幾何”的基本內(nèi)容。

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