有限元方法

前言

有限元方法在20世紀50年代誕生于結構力學，至今它已在眾多領域取得了巨大的成功?，F(xiàn)在，它是求解微分方程的成熟、有效的數(shù)值方法。在有限元方法的創(chuàng)立和發(fā)展過程中，我國學者作出了重要的貢獻。馮康的有關工作是開創(chuàng)性的，獨立于美國和歐洲之外創(chuàng)立并發(fā)展了有限元方法。有限元方法的基本思想是根據(jù)變分原理，利用有限元空間上的離散解近似無窮維空間V上的連續(xù)解。構造有限元空間的典型步驟如下：（1）將連續(xù)解的定義域Ω剖分成若干個子區(qū)域，稱每個子區(qū)域為一個單元；（2）在每個單元上，選取一個由多項式構成的m維空間和m個節(jié)點參數(shù)，要求空間中的每個多項式都可以由一組節(jié)點參數(shù)值唯一確定，函數(shù)或導數(shù)在單元某些點的值可以作為節(jié)點參數(shù)；（3）以某種方式連接各單元上的節(jié)點參數(shù)，進而得到定義在Ω上的分片多項式空間Vh，稱這樣得到的Vh為有限元空間。在有限元方法的數(shù)學理論中，有下面著名的結果：當Vh是V的子空間時，有限元解對連續(xù)解的逼近性取決于有限元空間Vh對V的逼近性。由有限元的插值理論可以得到有限元空間的逼近性質。

內容概要

本書系統(tǒng)地論述了有限元方法的數(shù)學基礎理論。本書以橢圓偏微分方程的邊值問題為例，介紹了協(xié)調有限元方法以及非協(xié)調等非標準有限元方法的數(shù)學描述、收斂條件和性質、有限元解的先驗和后驗誤差估計以及有限元空間的基本性質，其中包括作者多年來的部分研究成果。    本書可以作為從事科學與工程計算的科研和工程技術人員的參考書，也可以作為高等院校計算數(shù)學、應用數(shù)學等專業(yè)碩士研究生的教材。

書籍目錄

《信息與計算科學叢書》序前言第1章變分原理　1.1　Sobolev空間　1.2　Poisson方程　1.3　重調和方程　1.4　抽象變分問題　1.5　Galerkin方法和Ritz方法第2章  有限元和有限元空間　2.1　區(qū)域的剖分　2.2　有限元　2.3　有限元空間　2.4　二階橢圓問題：單純形有限元　2.5　二階橢圓問題：矩形有限元　2.6　四階橢圓問題：單純形有限元　2.7　四階橢圓問題：矩形有限元　2.8　2m階橢圓問題：MWX元第3章　有限元插值理論  3.1　仿射變換和仿射簇  3.2　仿射連續(xù)性和尺度不變性  3.3　插值誤差  3.4　逆不等式  3.5　有限元空間的逼近精度  3.6　一般單元的插值誤差第4章　協(xié)調有限元方法  4.1　Poisson方程  4.2　薄板彎曲問題  4.3　后驗誤差估計第5章　非協(xié)調有限元方法  5.1　非協(xié)調有限元　5.2　弱連續(xù)性　5.3　二階橢圓邊值問題　5.4　四階橢圓邊值問題　5.5　2m階橢圓邊值問題　5.6　后驗誤差估計第6章  非協(xié)調有限元的收斂性　6.1　廣義分片檢驗　6.2　分片檢驗　6.3　分片檢驗的反例　6.4　F—E—M檢驗　6.5　超逼近性　6.6　奇異的收斂現(xiàn)象第7章　擬協(xié)調有限元方法　7.1　二階問題：RQC4元　7.2　重調和方程　7.3　秩條件　7.4　逼近性　7.5　誤差估計　7.6　后驗誤差估計第8章　非傳統(tǒng)有限元方法　8.1  自由格式　8.2　兩個單元　8.3　收斂分析　8.4　一般情形　8.5　后驗誤差估計第9章　雙參數(shù)方法　9.1　DSP方法　9.2　DSP方法的收斂性　9.3　Poisson方程的DSP元　9.4　薄板彎曲問題的DSP元　9.5　后驗誤差估計第10章  有限元空間的性質　10.1　基本假設　10.2　嵌入性質　10.3　緊致性質　……第11章  二階問題有限元的L∞誤差估計笛12童  薄板彎曲有限元的L∞誤差估計參考文獻索引

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