數(shù)

內(nèi)容概要

數(shù)數(shù)是一項(xiàng)基本的生活技能，它簡(jiǎn)單到連小孩子也能學(xué)會(huì)。但人們想不到的是，現(xiàn)在我們所用的靈活方便的計(jì)數(shù)方式是在近代才發(fā)展起來(lái)的；而在這之前，世界上的多種文化分別創(chuàng)造了多樣的計(jì)數(shù)方式，十進(jìn)制、六十進(jìn)制便是其中最著名的進(jìn)制，且被沿用至今。計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，是計(jì)數(shù)方式上的又一大變革，或者說(shuō)新的計(jì)數(shù)方式促進(jìn)了計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展。這一切都要?dú)w功于萊布尼茨發(fā)明的二進(jìn)制。數(shù)的概念和計(jì)數(shù)方式一樣也在不斷變化著。數(shù)是什么?我們沒(méi)有唯一的答案，因?yàn)閿?shù)系一直在變化中。自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、超越數(shù)、超限數(shù)，每一次數(shù)的家族的擴(kuò)張，都能引發(fā)更深層次的思考，也都留下了懸而未決的問(wèn)題?？梢妼?duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，我們還有很長(zhǎng)的路要走。

作者簡(jiǎn)介

作者：(美國(guó))約翰·塔巴克 譯者：王獻(xiàn)芬 王輝 張紅艷

書籍目錄

引言  數(shù)和想象力第一部分  用于計(jì)算的數(shù)　第一章  第一批問(wèn)題　第二章  早期的記數(shù)系統(tǒng)　  美索不達(dá)米亞的教育　  美索不達(dá)米亞的數(shù)系　  六十進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)　  美索不達(dá)米亞人的數(shù)學(xué)家庭作業(yè)　  埃及的數(shù)系　  阿梅斯紙草書中的一個(gè)問(wèn)題　  瑪雅的數(shù)系　  中國(guó)的數(shù)系　  《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題　第三章  我們的位值制　  新系統(tǒng)的注解　第四章  分析機(jī)　  計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和人的想象力　  巴貝奇和分析機(jī)　  數(shù)系的早期電子表示　  計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示　  浮點(diǎn)表示　  浮點(diǎn)算術(shù)和計(jì)算器　  為什么制造計(jì)算機(jī)？第二部分  數(shù)的思想的推廣　第五章  數(shù)的概念的演化　  無(wú)理數(shù)　  薩摩斯的畢達(dá)哥拉斯　  *2的無(wú)理性　第六章  負(fù)數(shù)　  印度次大陸的古代數(shù)學(xué)課本　  走出印度　第七章  代數(shù)數(shù)　  塔爾塔利亞、費(fèi)拉里和卡爾達(dá)諾　  吉拉爾和沃利斯　  歐拉和達(dá)朗貝爾　  關(guān)于“虛”數(shù)的爭(zhēng)論　  復(fù)數(shù)：現(xiàn)代的觀點(diǎn)　  復(fù)數(shù)的使用　第八章  超越數(shù)及其含義的研究　  戴德金和實(shí)數(shù)線第三部分  無(wú)窮的問(wèn)題　第九章  早期的理解　第十章  伽利略和波爾查諾　  作為數(shù)的無(wú)窮　  《項(xiàng)狄傳》　第十一章  康托爾和無(wú)窮的邏輯　  有理數(shù)不比自然數(shù)多　  實(shí)數(shù)多于自然數(shù)　  羅素悖論　  羅素悖論的解決　第十二章  康托爾的遺產(chǎn)　  哥德爾　  當(dāng)代的形式語(yǔ)言　  圖靈大事年表術(shù)語(yǔ)表

章節(jié)摘錄

　　有時(shí)分?jǐn)?shù)也是必要的，例如，31/2英尺（1英尺=0.3 048米）、1/4千克或1/2天。在人類歷史的大部分時(shí)期，沒(méi)有人花時(shí)間去考慮沒(méi)有蘋果的集合或-3天的集合。幸運(yùn)的是，正有理數(shù)集合能夠滿足大多數(shù)的需求。我們強(qiáng)調(diào)大多數(shù)，是因?yàn)榭偸怯雄E象表明存在其他數(shù)，并且它們可能是有用的。在數(shù)學(xué)上遇到其他類型的數(shù)是不可避免的，為了理解正有理數(shù)集合以外的數(shù)是如何發(fā)現(xiàn)的，我們不妨考慮一下基本算術(shù)運(yùn)算。存在四種基本的算術(shù)運(yùn)算：加法、減法、乘法和除法，另外還有第五種運(yùn)算——開根法（通過(guò)開根法可以求平方根、立方根，等等），其中前三種運(yùn)算沒(méi)有給早期數(shù)學(xué)家?guī)?lái)概念性的問(wèn)題。例如，我們把兩個(gè)正有理數(shù)相加，結(jié)果是另一個(gè)正有理數(shù)，類似地，兩個(gè)正有理數(shù)相乘或相除，結(jié)果仍是一個(gè)正有理數(shù)?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)家把這種情況描述為：正有理數(shù)對(duì)加法、乘法和除法封閉。封閉的意思是集合內(nèi)的數(shù)通過(guò)加法、乘法和除法運(yùn)算，結(jié)果仍在集合內(nèi)。但是，減法和開根法卻與此不同。　　我們用2減1得到的結(jié)果是正有理數(shù)1，然而用1減2得到的結(jié)果是負(fù)數(shù)，它不再屬于實(shí)數(shù)線的正數(shù)范圍。今天我們認(rèn)為-1是1減2的答案，但早期數(shù)學(xué)家往往不考慮這樣的問(wèn)題。對(duì)他們來(lái)說(shuō)，1減2似乎是不可能的事，因?yàn)閷?duì)于我們可以用負(fù)數(shù)來(lái)回答的問(wèn)題，他們認(rèn)為是不可解的。對(duì)他們來(lái)說(shuō)只考慮正數(shù)沒(méi)有什么數(shù)學(xué)理由，這個(gè)限制是數(shù)學(xué)家強(qiáng)加給自己的。事實(shí)上，并不是只有0和負(fù)數(shù)的存在才造成了概念上的困難?！　?shù)學(xué)中除了簡(jiǎn)單地判斷一個(gè)數(shù)是否大于0、小于0或等于0這樣的情況外，還有許多其他情況。例如，如果求2的平方根，記為√2，我們就得到一個(gè)不是正有理數(shù)的數(shù)。因?yàn)殡m然√2芝是正數(shù)，但不是有理數(shù)，即不能表示成分子與分母都是整數(shù)的分?jǐn)?shù)。又如求√-2，我們發(fā)現(xiàn)在實(shí)數(shù)線上沒(méi)有它的位置，但√-2確實(shí)存在，只不過(guò)它不屬于實(shí)數(shù)系。對(duì)于早期數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，他們則認(rèn)為形如√-2的數(shù)沒(méi)有意義。　　我們現(xiàn)在知道√-2并不是沒(méi)有意義，它是復(fù)數(shù)的一個(gè)例子，在實(shí)數(shù)線中找不到它的位置。復(fù)數(shù)在科學(xué)與數(shù)學(xué)上都有重要的應(yīng)用。歷史上一些偉大的數(shù)學(xué)家曾耗費(fèi)心力對(duì)不同類型數(shù)的意義進(jìn)行研究。對(duì)在基本算術(shù)運(yùn)算和開根下封閉的數(shù)系的尋找，是在近200年以前才完成的，甚至它的許多基本性質(zhì)是在最近才得以被發(fā)現(xiàn)?！　o(wú)理數(shù)　　無(wú)理數(shù)是不能表示成兩個(gè)整數(shù)的商的數(shù)。大約在4000年以前，美索不達(dá)米亞人在計(jì)算邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)時(shí)，首先發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)√2。美索不達(dá)米亞人不但具有敏銳的數(shù)學(xué)眼光，而且擅長(zhǎng)計(jì)算，得出√2的高度精確的有理數(shù)近似值，即找到了極其接近√2的有理數(shù)。人們?cè)谛ㄐ挝淖帜喟逯邪l(fā)現(xiàn)的√2的有理近似值，已精確到小數(shù)點(diǎn)后第1000000位；甚至在今天，對(duì)大部分應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這也是√2足夠精確的估計(jì)值。　　……

編輯推薦

《數(shù)》全書內(nèi)容豐富、通俗易懂，對(duì)有一般數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者提高自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解有極大的幫助作用。《數(shù)》是“數(shù)學(xué)之旅”之一，該書不是教科書，也不是教輔，它只是為在新時(shí)代中對(duì)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)歷史感興趣的人提供一些閱讀生活。從中你可以學(xué)到一些如何觀察現(xiàn)象和提出問(wèn)題的方法，了解教科書中那些定理的形成，從而把自己投入到人類文明的進(jìn)程中去，或許可以成為閱讀者意想不到的收獲。

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