機器人機構學的數學基礎

前言

旋量理論和李群李代數在現代物理學和剛體運動領域取得了成功的應用，也成為機構學和機器人學研究的有效分析工具，已被許多國內外學者所接受和采用，但是相關的教材卻非常少，特別需要一本系統(tǒng)完善地介紹相關理論的專著，反映當前的研究和應用狀況。很多工科高校都設置了機器人或高等機構學方面的課程，選擇教材和講授課程時，大都想增加有關微分流形和李群李代數方面的內容，來增強課程的基礎性和系統(tǒng)性。《機器人機構學的數學基礎》一書由4位中、青年學者合作撰寫而成。書中匯集了他們多年來在該領域的部分研究成果和有關機器人機構學的最新研究進展，從理論的高度系統(tǒng)地介紹了機器人機構學的研究及應用。該書內容豐富、深入淺出、層次分明。同時該書應用對象涵蓋面較廣，涉及到并聯(lián)機器人，柔性機構，變胞機構等現代機構研究領域。本書比較系統(tǒng)地介紹了旋量理論和李群李代數的基本知識，反映7李群李代數與機器人機構學相結合的最新理論研究成果，介紹了一些典型應用實例。該書將為機器人機構的創(chuàng)新設計提供較系統(tǒng)的基礎理論和有效方法。我相信《機器人機構學的數學基礎》的編寫和出版會對我國機構學領域的教學科研人員、研究生和本科生有重要的參考價值，可以作為相關專業(yè)的研究生教材或高年級的本科教材，也可作為相關科研人員的參考書。相信該書將為初學者提供一條很好的入門途徑，受到廣泛的贊許。 前言 機構學是一門十分古老的科學，但隨著機器人學的興起，給傳統(tǒng)機構學帶來了新的活力，機器人機構學已逐漸演變成為機構學領域的一個重要分支。特別是當前，為了我國的科技進步，為了大力發(fā)展自主創(chuàng)新，機器人機構學正面臨著一個空前的機遇。經驗表明，任何機械系統(tǒng)的創(chuàng)新都離不開機構的創(chuàng)新。從目前國內外對機構學與機器入學的研究來看可以用方興未艾來形容，其行業(yè)范圍已不再局限于科研院所，更逐漸向行業(yè)(如制造業(yè))拓展，從業(yè)人員日益增加。從機構學與機器人學的發(fā)展歷史上來看，機構學與機器人學的發(fā)展與數學工具是息息相關的。現代機構學的誕生更是離不開數學的推動作用。與機構學和機器人學聯(lián)系緊密的數學X-具中，人們比較熟悉線性代數與矩陣理論，對旋量理論、李群李代數等現代數學工具還知之甚少。而后者在機構學與機器人學研究領域里近年來越來越受到重視，并得到了日益廣泛的應用。以少自由度并聯(lián)機器人結構綜合研究為例，通過旋量理論與李群理論的引入為曾經作為機構學難題的型綜合問題打開了一扇明亮的天窗。據不完全統(tǒng)計，從1990年到2005年15年間尤其是后5年問在國內外機構學與機器入學相關的重要核心期刊中發(fā)表的有關少自由度并聯(lián)機構結構綜合的學術論文不少于100篇。正所謂的“功欲善其事，必先利其器”。旋量理論和李群、李代數理論在現代物理學和剛體運動領域取得了成功的應用，也日漸成為現代機構學和機器人學研究的有效分析工具。雖然，這些現代數學工具已被大量的國內外學者所接受和采用，但與此相關的教材卻非常少，特別是還沒有能夠比較系統(tǒng)完善介紹相關理論并反映當前研究和應用現狀的論著。另一方面，隨著科技的飛速發(fā)展，促進了機器入學與機構學研究領域的不斷拓新，對其理論支撐的要求也越來越高，如高速、重載、精微等·應用傳統(tǒng)的數學工具解決這些問題有時變得十分困難甚至無能為力，而新的數學工具可以為之提供新方法、新思路、新途徑。本書定位為相關專業(yè)的研究生教材或高年級的本科教材；也可廣泛用于科研人員的參考書。它是在北京航空航天大學機械工程相關專業(yè)一年級碩士研究生的專業(yè)選修課(《機器人學的李群、李代數分析方法》)授課講義的基礎上編寫而成的。本書內容在2004~~~~2007年間已在課堂上先后講授過4次，根據多方的反饋意見進行了多次修正和改進。在此，向那些對本書提出寶貴意見的師生們表示誠摯的感謝。本書將主要研究對象定位于機器人機構學，但整個教材體系又與現存空間(或高等)機構學以及機器人機構學方面的教材及專著有所不同。本書以建立一套較為嚴謹的支撐機器人機構學數學基礎的理論體系為基點和重點(為本書第2-8章)，通過將李群、李代數與旋量及旋量系理論的有機結合，達到體系貫通之目的。在此基礎上，再依據機構學的理論體系即結構學、運動學、動力學來構建現代數學工具在機器人機構學中的應用環(huán)節(jié)(第9-14章)，應用對象涵蓋面較廣，既照顧到了人們早已熟悉的工業(yè)機器人(串聯(lián)機器人)，也有方興未芰的并聯(lián)機器人，還涉及了柔性機構、變胞機構等若干新型機構研究領域。本書比較系統(tǒng)地介紹了旋量理論和李群的基本知識，反映了最新的理論研究成果，并介紹了當前的一些典型應用實例。內容盡量做到深入淺出、生動新穎。但由于受到自身的學術水平所限，對理論基礎部分的闡述還缺乏深度和廣度，尤其缺少一般數學教材中嚴謹的演繹及證明。另外，受到教材的篇幅限制，我們在應用篇中只選用了機器人機構學領域若干經典內容，而如機構的尺度綜合及優(yōu)化設計、精度與誤差分析、運動學標定、以及運動學規(guī)劃等問題沒有在本書中涉及?，F代機構學的研究已呈現出交融的態(tài)勢：如平面機構與空間機構的交融(例如并聯(lián)機構的性能研究可從以平面機構為支鏈的研究入手)、剛性機構與柔性機構的交融(偽剛體模型)、結構綜合與尺度綜合的交融(如分布柔度桑性機構的拓撲設計問題)、理論研究與結構設計的融合(如柔性機構、并聯(lián)運動機PKM等)、功能集成與功能分解的融合(廣義機構、可重構機構等)等。現代數學工具必將在現代機構學的研究中發(fā)揮越來越重要的角色，因此本書通過對旋量理論和李群進行系統(tǒng)化介紹并予以貫通，對機器入學和現代機構學的研究和發(fā)展具有重要的參考價值和指導意義。本書有關內容的研究，得到了很多同仁的大力支持，在此表示衷心的感謝。本書第2-8章理論基礎篇的大量內容參考7Ball教授(英國)，Selig教授(英國)、Herve教授(法國)、Murray教授(美國)和李澤湘教授(香港)、Hunt教授(澳大利亞)、Lipkin教授(美國)、黃真教授和趙鐵石教授(燕山大學)、方躍法教授(北京交通大學)等的著作或研究工作。第9-14章應用篇的內容則參考了Tsai教授(美國)、Gao博士和I—MChen教授(新加謦’、Murray教授、黃真教授和趙鐵石教授、方躍法教授等的著作或研究工作。同時，本書中也涵蓋了4位作者近年來在該領域的部分研究工作。這些研究成果主要體現在旋量系與反旋量系理論的豐富完善(如計算方法等)、并聯(lián)機器人的自由度分析及型綜合、機器人新的運動性能指標研究、柔性機構的靜剛度分析等方面。

內容概要

本書以近年來的研究成果為主干，講述李群李代數、旋量理論為代表的現代數學工具在機構學及機器人學中的應用。全書分為兩個部分：第一部分為理論基礎篇，第二部分為應用篇，其中多數有習題。    第1章為緒論。第2章回顧一些數學基礎知識與概念，如線性變換、矩陣理論、射影幾何、線幾何以及微分流形等。從第3章到第8章是本書的基礎理論部分，主要是李群、李代數及旋量、旋量系理論及其在機構學中的簡單應用。從第9章到第14章是本書的應用部分，包括復雜機構及機器人的自由度分析、構型綜合、運動學分析、運動性能分析、靜力學與剛度問題、動力學問題等。    本書所選機構與機器人種類豐富，不僅涵蓋了傳統(tǒng)串聯(lián)式機器人、并聯(lián)式機器人，而且還包括了當前機構學領域一些較為熱門的機構（如柔性機構、大擺角并聯(lián)機構等）。作為本書的一項補充，在附錄中主要向讀者介紹一下有關幾何代數及其在機器人中的應用方面的內容，這是一個全新的研究領域。    本書可作為研究生教材或高年級本科教材，也可作為相關科研人員與工程技術人員參考用書。

書籍目錄

序前言符號表第1章  緒論  1.1　機構學與機器人學的發(fā)展歷史概述  1.2　機構學及機器人學基礎    1.2.1  機構與機器人的基本組成元素：構件與運動副    1.2.2　運動鏈、機構與機器人    1.2.3  自由度、活動度與約束    1.2.4　機器人機構的分類  1.3　機器人機構學的主要研究內容    1.3.1  機構與機器人的結構分析與綜合    1.3.2　機構與機器人的運動學性能評價指標    1.3.3　機構與機器人動力學    1.3.4　機構與機器人的設計理論　1.4　機構學與機器人學研究的數學方法  　1.4.1　李群、李代數  　1.4.2　旋量理論  　1.4.3　現代數學工具在機構學與機器人學中的應用舉例  1.5　本書概述及使用建議    1.5.1　本書概述    1.5.2　文獻使用與說明第2章　預備知識  2.1　線性空間  2.2　歐氏幾何  2.3　射影幾何與齊次坐標    2.3.1　射影直線、射影平面與射影空間    2.3.2　點線面的齊次表示與Plucker坐標  2.4　線幾何    2.4.1　線矢量的定義與Plucker坐標    2.4.2　線矢量的運算    2.4.3　Klein映射　2.5　微分流形　習題第3章　李群與李子群  3.1　群與李群的定義  3.2　幾種典型的李群  3.3　李群的映射  3.4　李群的作用  3.5　李子群的運算  3.6　SE（3）及其子群  3.7　位移子群的正則表示與共軛表示　3.8　位移子流形　3.9　參考文獻說明　習題第4章　李代數　4.1　李代數的定義　4.2　幾種特殊的李代數　4.3　指數映射　4.4  SE（3）伴隨表達的指數映射　4.5參考文獻說明　習題第5章　李群與剛體運動  5.1  剛體運動與剛體變換　……第6章　旋量與剛體運動第7章　旋量與反旋量系第8章　運動旋量系與約束旋量系第9章　復雜機構的自由度分析第10章　并聯(lián)機構的構型綜合第11章　串聯(lián)機器人運動學第12章　機器人機構的運動性能分析第13章　機器人的靜力學及靜剛度分析第14章　機器人動力學基礎附錄：幾何代數與剛體運動名詞索引參考文獻

章節(jié)摘錄

插圖：第1章 緒論人類賴以生存的大千世界如此多姿多彩，不僅是因為大自然創(chuàng)造了千姿百態(tài)的生靈，而且是由于這些生靈中最具有智慧的人類創(chuàng)造了如此多的機械。從外星來觀察地球，地球上存在著兩種“機械”，即“自然機械”和“人造機械”。那么，這兩種“機械”是以什么原理構造而成的?它們有什么樣的功能和特性？人們應如何根據性能來設計各種機械?這些都是機構學領域長期研究的基礎問題。機器人機構學研究的任務是揭示自然和人造機械的機構組成原理，創(chuàng)造新機構，研究基于特定性能的機構分析與設計理論，為現代機械與機器人的設計、創(chuàng)新和發(fā)明提供系統(tǒng)的基礎理論和有效實用的方法。機構學與機器人學的發(fā)展均離不開數學的推動作用，先進的數學工具更是給現代機構學與先進機器人技術的發(fā)展注入了強大的動力。1.1 機構學與機器人學的發(fā)展歷史概述機構學在廣義上又稱機構與機器科學（Mechanism and Machine Science），是機械設計及理論二級學科的重要研究分支，在機械工程一級學科中占有基礎研究地位；同時機構學又是一門古老的學科，距今已有數千年的歷史。機構從一出現就一直伴隨甚至推動著人類社會和人類文明的發(fā)展，它的研究和應用更是有著悠久的沿革。從歷史的發(fā)展來看，主要經歷了三個階段：第一階段（從古世紀—18世紀中葉）：機構的啟蒙與發(fā)展時期。標志性的成果有：古希臘大哲學家亞里士多德（Aristotle）的著作《Problems of Machines》是現存最早的研究機械力學原理的文獻。阿基米德（Archimedes）用古典幾何學方法提出了嚴格的杠桿原理和旋量的運動學理論，建立了針對簡單機械研究的理論體系。古埃及的海倫（Heron）提出了組成機械的5個基本元件：輪與輪軸、杠桿、絞盤、楔子和螺桿。中國古代的墨翟在機構方面也做出了很多驚人的成就：他制造的舟、車、飛鳶以及根據力學原理為古代車子所創(chuàng)造的“車轄”（即今之車閘）和為“備城門”所研制的“塹懸梁”都體現了機構的設計原理。意大利著名繪畫大師達芬奇（Da Vinci）的作品《Codex Madrid》和《The Atlantic Codex》中，列出了用于機器制造的22種基本部件。

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