微分幾何及其在力學中的應用

內(nèi)容概要

　　本書是作者根據(jù)多年來為北京大學力學系研究生和高年級本科生講授同名課程的講稿編寫而成的，書中系統(tǒng)介紹了微分幾何的基礎知識。全書共分為六章：
第一章介紹了向量和張量的基本性質(zhì)；第二章給出了歐氏空間中曲線與曲面的幾何；第三章引入了流形的概念及若干性質(zhì)，如向量的Lie導數(shù)的性質(zhì)；第四章介紹了流形上的微分形式和外微分運算，并給出了幾個重要定理的證明；第五章介紹了Lie群與Lie代數(shù)的性質(zhì)，特別是在不變量理論中的應用；第六章介紹了動力系統(tǒng)與Symplectic幾何的理論及其在力學中的應用。每章末配有適量的習題，便于讀者選用。

作者簡介

　　武際可，北京大學教授，博士生導師，曾任中國力學學會副理事長，《力學與實踐》雜志主編。

書籍目錄

第一章　向量與張量
　§1.1n維實向量空間
　　一、 向量與坐標
　　二、 坐標變換
　§1.2對偶空間
　　一、 線性函數(shù)與對偶空間
　　二、 對偶空間中的坐標變換
　　三、 力學中的對偶空間
　§1.3歐氏空間與偽歐氏空間
　　一、 歐氏空間
　　二、 歐氏空間的自對偶性質(zhì)
　　三、 偽歐氏空間
　§1.4張量
　　一、 張量的定義
　　二、 歐氏空間中的張量
　　三、 張量代數(shù)
　§1.5張量的反稱化和外積
　　一、 張量的反稱化，外形式
　　二、 向量的外積
　　三、 Hodge星算子
　§1.6幾類特殊張量和它們的性質(zhì)
　　一、 二階張量與特征值
　　二、 Levi?Civita符號
　　習題一
第二章　歐氏空間中的曲紋坐標
　§2.1曲紋坐標與活動標架
　　一、 曲紋坐標
　　二、 活動標架
　　三、 活動標架的微商
　§2.2絕對微商
　　一、 協(xié)變導數(shù)
　　二、 逆變導數(shù)
　　三、 張量的絕對微商
　　四、 正交曲線坐標與非完整系
　　五、 張量的物理分量
　　六、 幾個常見的微分算子
　　七、 兩點張量場
　§2.3歐氏空間中的曲線
　　一、 曲線的參數(shù)方程與弧長
　　二、 Frenet公式
　　三、 曲線的密切性質(zhì)
　　四、 例子與應用——曲桿的彎曲
　§2.4曲面論
　　一、 歐氏空間的子流形
　　二、 曲面與曲面的彎曲性質(zhì)
　　三、 曲面論的基本方程
　　四、 Gauss方程與Codazzi方程
　　五、 曲面上的曲線，測地曲率與測地線
　　六、 曲面上的曲線坐標網(wǎng)
　§2.5曲面的無限小彎曲
　　一、 曲面的彎曲變形與無限小彎曲
　　二、 卵形曲面的剛硬性
　§2.6幾種特殊曲面
　　一、 直紋面與可展曲面
　　二、 旋轉(zhuǎn)曲面
　　三、 平行曲面，曲面的焦曲面
　　四、 偽球面與Sine?Gordon方程
　　五、 B?cklund變換
　§2.7歐氏空間的變換群
　　一、 變換群
　　二、 線性變換群GL（n，
　　三、 線性變換群的某些特殊子群
　　四、 變換群與其切空間的關(guān)系
　　五、 歐氏空間中的保角變換
　　習題二
第三章　流形與Riemann流形
　§3.1流形
　　一、 流形的定義
　　二、 流形上的坐標
　§3.2流形的切空間
　　一、 切空間與切叢
　　二、 余切空間與余切叢
　　三、 流形上的張量
　§3.3子流形與Riemann流形
　　一、 流形間光滑映射的誘導映射
　　二、 子流形
　　三、 Riemann流形
　　四、 Riemann流形中向量的平行
　§3.4Riemann曲率張量
　　一、 曲率張量的引進
　　二、 曲率張量的性質(zhì)
　　三、 曲率張量的縮并
　§3.5Riemann流形與力學系統(tǒng)
　　一、 有限自由度系統(tǒng)的運動方程
　　二、 變形張量的協(xié)調(diào)方程
　　習題三
第四章　外微分與Stokes定理
　§4.1外微分
　　一、 微分形式
　　二、 外微分
　　三、 若干例子
　§4.2Stokes定理
　　一、 流形上的積分
　　二、 Stokes定理
　　三、 Stokes定理的若干應用
　§4.3Poincaré逆定理
　　一、 閉形與恰當形
　　二、 Poincaré逆定理
　　三、 Poincaré逆定理在全局成立的充分條件
　　四、 流形上的對偶關(guān)系
　§4.4Lie導數(shù)
　　一、 流形上的向量場
　　二、 Lie導數(shù)
　　三、 Lie導數(shù)的性質(zhì)
　§4.5Frobenius定理
　　一、 預備討論
　　二、 Frobenius定理
　　三、 外微分方程與Frobenius定理的第二種形式
　　四、 Frobenius定理的應用
　　習題四
第五章　Lie群與Lie代數(shù)
　§5.1基本概念
　　一、 Lie群
　　二、 Lie群核
　　三、 Lie代數(shù)
　　四、 變換誘導的切向量變換
　§5.2Lie群與Lie代數(shù)
　　一、 Lie群的Lie代數(shù)
　　二、 單參數(shù)Lie群
　　三、 Taylor展式
　§5.3Lie群的同態(tài)和同構(gòu)
　　一、 代數(shù)系統(tǒng)的同態(tài)、同構(gòu)和自同構(gòu)
　　二、 Lie代數(shù)的矩陣表示
　§5.4不變量
　　一、 不變量的定義
　　二、 微分不變量
　　三、 Killing向量場
　　四、 積分不變量
　§5.5Lie?B?cklund變換
　　一、 Lie?B?cklund變換
　　二、 Lie?B?cklund變換對微分方程的應用
　　三、 B?cklund變換
　§5.6與變換群有關(guān)的某些力學問題
　　一、 不變量嵌入法
　　二、 量綱分析與相似性理論
　　三、 算子與分離變量
　　習題五
第六章　動力系統(tǒng)的幾何理論
　§6.1Symplectic幾何與多自由度的
　　Hamilton動力系統(tǒng)
　　一、 相空間及其度量
　　二、 Poisson括弧
　　三、 Symplectic幾何與Hamilton動力系統(tǒng)
　　四、 Hamilton?Jacobi方程

章節(jié)摘錄

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《微分幾何及其在力學中的應用》是高等學校教材之一。

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