數學分析講義（第二冊）

內容概要

本書是作者在清華大學數學科學系(1987—2003)及北京大學數學科學學院(2003—2009)給本科生講授數學分析課的講稿的基礎上編成的。一方面，作者力求以近代數學(集合論，拓撲，測度論，微分流形和微分形式)的語言來介紹數學分析的基本知識，以使同學盡早熟悉近代數學文獻中的表述方式，另一方面在篇幅允許的范圍內，作者盡可能地介紹數學分析與其他學科(
特別是物理學)的聯(lián)系，以使同學理解自然現(xiàn)象一直是數學發(fā)展的重要源泉。全書分為三冊，第一冊包括：集合與映射，實數與復數，極限，連續(xù)函數類，一元微分學和一元函數的Riemann積分；第二冊包括：點集拓撲初步，多元微分學，測度和積分；第三冊包括：Fourier分析初步，廣義函數，復分析，微分流形，重線性代數，微分形式和流形上的積分學，每章都配有豐富的習題，它除了提供同學訓練和熟悉正文中的內容外，也介紹了許多補充知識。
本書可作為高等院校數學系攻讀數學、應用數學、計算數學的本科生數學分析課程的教材或教學參考書，也可作為需要把數學當做重要工具的同學
(例如攻讀物理的同學)的教學參考書。

作者簡介

陳天權，1959年畢業(yè)于北京大學數學力學系，曾講授過數學分析，高等代數，實變函數，復變函數，概率論，泛函分析等課程，主要的研究方向是非平衡態(tài)統(tǒng)計力學。

書籍目錄

第7章 點集拓撲初步
第8章 多元微分學
第9章 測度
第10章 積分
參考文獻
名詞索引

章節(jié)摘錄

版權頁：   插圖：   積分概念的雛形早在偉大的希臘科學家Archimedes研究弧長，面積和體積時就己形成。到了Newton—Leibniz公式出現(xiàn)后，由于微積分在數學及數學以外的許多領域中應用的重要性及復雜性，積分概念便成為數學家需要認真研究的一個數學對象。19世紀上半葉，Cauchy研究了連續(xù)函數的積分概念，緊接著Riemann對積分及可積函數的概念作了細致的討論。他們使積分理論建立在嚴格的邏輯基礎上，本講義的第六章介紹的就是他們的工作。到了19世紀下半葉，許多數學家已經認識到：Cauchy和Riemann的積分概念雖然是嚴格的，但它包含的可積函數類的局限性太大，仍有改進的必要。重新建立新的積分理論的迫切性來源于Cauchy和Riemann的理論存在著一個嚴重的缺陷：他們定義的可積函數列（在某種意義下）的極限，即使是有界閉區(qū)間上的有界函數，仍有可能在Riemann的積分定義下是不可積的。正如有理數的極限會不是有理數的事實使得微積分不能建立在有理數域上而只能建立在實數域上一樣，可積函數列（某種意義下）的極限有可能是不可積的函數的這個缺陷給數學（特別是微分方程，積分方程，概率論和函數論等分析領域）的進一步發(fā)展造成了嚴重障礙。經過了許多數學家長期工作的積累，其中法國數學家H.Lebesgue的貢獻跨出了關鍵的一步，19世紀末和20世紀初發(fā)展出克服了以上缺陷的完善的測度和積分理論。它為20世紀數學，特別是分析學的進一步發(fā)展提供了不可缺少的工具。上一章介紹了這個理論的準備部分——測度理論。在這個測度理論的基礎上現(xiàn)代積分理論建立起來了。本章就是要介紹這個理論。

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