奧數(shù)小叢書(shū)

內(nèi)容概要

　　《集合（第2版）》本書(shū)力圖以分類的方式介紹數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的集合問(wèn)題及其解法。前6個(gè)單元主要介紹集合的基本知識(shí)、基本問(wèn)題以及解決這些問(wèn)題的一些典型方法，后3個(gè)單元介紹由集合派生出來(lái)的數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用。
數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的集合問(wèn)題有兩個(gè)特點(diǎn)：一是以集合為經(jīng)，代數(shù)、數(shù)論、幾何知識(shí)為緯，縱橫交織，具有綜合性。因此扎實(shí)的代數(shù)、數(shù)論、幾何學(xué)科功底是成功解決集合問(wèn)題的基礎(chǔ)：二是其強(qiáng)烈的組合色彩對(duì)解題者智慧的挑戰(zhàn)。競(jìng)賽中的集合問(wèn)題很難有統(tǒng)一的解法，唯有善于抓住問(wèn)題的本質(zhì)和關(guān)鍵，才能找到解題的蹊徑。相信使用本書(shū)會(huì)提高你解題的基本功。

作者簡(jiǎn)介

劉詩(shī)雄 華南師大中山附中校長(zhǎng)，數(shù)學(xué)特級(jí)教師，數(shù)學(xué)奧林匹克高級(jí)教練，享受國(guó)務(wù)院政府特殊津貼，獲“蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)”一等獎(jiǎng)。長(zhǎng)期從事數(shù)學(xué)教育研究和數(shù)學(xué)拔尖人才的培養(yǎng)工作，取得了突出成績(jī)，指導(dǎo)的學(xué)生曾獲第36屆
IMO滿分。曾長(zhǎng)期擔(dān)任湖北省武鋼三中校長(zhǎng)，武鋼三中為“中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克協(xié)作體核心學(xué)?！?，已有15人次獲國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克獎(jiǎng)牌。主編《高中競(jìng)賽數(shù)學(xué)教程》、《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽跟蹤輔導(dǎo)》等數(shù)學(xué)奧林匹克教材。多次獲得湖北省科技進(jìn)步獎(jiǎng)、湖北省科普著作獎(jiǎng)。

書(shū)籍目錄

1 元素與集合
2 集合的運(yùn)算
3 有限集元素的數(shù)目
4 集合的分劃
5 子集族
6 集合的性質(zhì)
7 分類原則
8 極端原理
9 容斥原理
習(xí)題解答

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁(yè)：   插圖：    所以，k∈Aj，j∈Ak.矛盾 考慮一個(gè)由元素0、1構(gòu)成的n×n階正方形表格，當(dāng)且僅當(dāng)j∈A其第i行第j列的元素為1.表中對(duì)角線上的元素為0，對(duì)于余下的元素，因?yàn)閕≠j，當(dāng)且僅當(dāng)aj=1時(shí)aij=0，所以0的個(gè)數(shù)等于1的個(gè)數(shù)，因此，表中元素的和為n2—n/2.又每行元素的和大于等于3，所以n2—n≥6n，故n≥7. 例6集合X={1，2，…，6k），k∈N*，試作出X的三元子集族A，滿足： （1）X的任一二元子集至少被族A中的一個(gè)三元子集包含； （2）/A/=6k2. 解先證明下面的引理： 引理對(duì)n∈N*，集合X1={1，2，…，2n）的全部二元子集可分成2n—1組，且每組是X1的一個(gè)分劃。 引理的證明：如圖5—1，將1，2，…，2n—1這2n—1個(gè)數(shù)按順時(shí)針?lè)较蚍诺揭粋€(gè)正2n—1邊形的頂點(diǎn)上，數(shù)2行放在外接圓圓心。 連結(jié)2n與1，作n—2條以2n—1邊形頂點(diǎn)為端點(diǎn)且垂直于1與2n連線的線段，便得到X1的n個(gè)二元子集構(gòu)成X1的一個(gè)分劃，將2n與1的連線依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2π/2n—1，4π/2n—1，…，（4n—4）π/2n—1，作出相應(yīng)的圖及X1的n個(gè)二元子集，這樣，X1的全部c22n—n（2n—1）個(gè)二元子集被分成2n—1組，且每組n個(gè)集合構(gòu)成X1的一個(gè)分劃。 下面來(lái)作滿足題設(shè)的子集族： 令A(yù)={1，2，…，2k}，B={2k+1，2k+2，…，4k），C={4k+1，4k+2，…，6k），由引理，A的全部二元子集可分成2k—1組，每組是A的一個(gè)分劃，將其中一組重復(fù)一次，得到A的2k個(gè)分劃，讓其中每個(gè)分劃與B的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集。 類似地，作出8的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含B的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與C的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)X的三元子集；作出C的2k個(gè)二元子集構(gòu)成的分劃，包含C的全部二元子集，讓其中每個(gè)分劃與A的一個(gè)元素搭配作出k個(gè)x的三元子集。 上面得到的k×2k×3=6k2個(gè)X的三元子集組成的族A滿足題設(shè)要求。

圖書(shū)封面

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