數(shù)學(xué)可以救羅馬？20個數(shù)學(xué)世界裡的奇妙謎題

前言

　　偶爾，當(dāng)我覺得異常輕鬆，思緒開始遊走時，我會好奇，如果每個人都像我一樣喜歡數(shù)學(xué)，這個世界會變成什麼光景呢。電視新聞會以最近的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)（algebraic topology）理論來取代庸俗的政治醜聞，青少年會將數(shù)學(xué)理論排行榜下載到他們的iPod，而卡利普索（calypso）〔編注：千里達(dá)的民歌，也在加勒比群島東、南部演唱，歌詞常以詼諧的語調(diào)諷刺當(dāng)?shù)氐恼魏蜕鐣录掣枵撸ㄓ浀盟麄儐?？）會用吉他撥彈出「輔助定理三」的曲調(diào)……這倒提醒了我，1960年代末，民歌手凱利（Stan Kelly，現(xiàn)為凱利―布托〔Stan Kelly-Bootle〕，查看Google）在華威大學(xué)（Warwick University）攻讀數(shù)學(xué)碩士時，真的寫過這麼一首歌。歌曲是這麼開始的：　　輔助定理三，非常漂亮，而逆定理也很漂亮，　　不過只有上帝和費馬知道其中何者為真?！　】傊?，我一向認(rèn)為數(shù)學(xué)是靈感和喜悅的來源。我知道對大多數(shù)人來說，數(shù)學(xué)只會觸動恐懼，而非樂趣，不過我發(fā)現(xiàn)自己實在無法認(rèn)同這樣的觀點。理智上，我了解數(shù)學(xué)恐懼癥廣布的幾項原因：當(dāng)你希望透過自己的行事風(fēng)格，以幾句行話和厚顏行徑擺脫麻煩時，再也沒有比一個必須絕對要求正確和精密的主題來得糟糕的事。但情感上，我發(fā)現(xiàn)自己很難理解，為什麼攸關(guān)我們所居世界的這麼一個活力十足，有著如此漫長和豐富的歷史，且充滿有史以來最傑出的人類智慧的主題，無法引起興趣，迷惑人心？　　另一方面，觀鳥人同樣無法理解為什麼其他人不能分享他們的熱情。「我的老天，那不是小鳳頭燕鷗笨蛋的求偶羽衣嗎？英國最後一隻紀(jì)錄有案的是1843年在斯凱島（Isle of Skye）發(fā)現(xiàn)的，那一隻部分躲在一個－－噢，不好了，它只是尾巴沾有泥土的椋鳥?！箾]有冒犯的意思－－我蒐集石頭?！竿?！真正的亞斯文（Aswan）花崗巖耶！」我們家堆滿了地球巖塊。　　大多數(shù)人認(rèn)為「數(shù)學(xué)」這個詞就是習(xí)以為常的算術(shù)，這或許無可避免。如果你會做，以某種蠢笨的想法來說，它很有趣。如果你不會，它很可怕。更甚者，假若有人拿著一支大紅筆站在旁邊，等著你出點小錯，以便跳進(jìn)來攪局的話，要對某些東西－－無論是數(shù)學(xué)或觀鳥－－感興趣絕非易事（只是一種比喻，卻再真不過）。畢竟，朋友間一、兩個小數(shù)點算什麼？但英國國民教育課程和小亨利的理解之間的鴻溝呢，數(shù)學(xué)的諸多樂趣似乎就在古老過時的方式中遺失殆盡。多可惜啊。　　我不是宣稱本書會對大眾的數(shù)學(xué)能力產(chǎn)生奇效，雖然我假設(shè)它或許可以（用哪種方式……啊，那又是另一回事了）。我試著在本書中做的是，說服那些不信邪的人。這本書是為了數(shù)學(xué)迷、數(shù)學(xué)狂熱者、積極熱愛數(shù)學(xué)的人，以及從玩樂中得到許多樂趣且始終保有一顆年輕的心的人而存在的。葛瑞爾（Spike Gerrell）可愛的漫畫強(qiáng)化了輕鬆的氣氛，並且完美表達(dá)討論的精神?！　∪欢业囊鈭D絕對嚴(yán)肅認(rèn)真?！　∥以鞠氚堰@本書命名為《數(shù)學(xué)分心的武器》（Weapons of Math Distraction），這個書名對我來說有平衡嚴(yán)肅和輕鬆的作用，所以我可能得感謝行銷部門的否決。但現(xiàn)在這個蛋糕指向的標(biāo)題也有危險性，你們有些人或許會想買這本書來獲得一些真正的烹調(diào)指導(dǎo)。我可不保證能做到：這是一本關(guān)於數(shù)學(xué)本質(zhì)的謎題和遊戲的書，不是食譜。蛋糕只是波雷爾測度（Borel measure）的空間而已?！　?yán)重偽裝成……一塊蛋糕。數(shù)學(xué)老師教我們的不是如何做蛋糕，而是如何平均分給任何數(shù)目的人。並且－－這一點難多了－－不會心生嫉妒。切蛋糕可以簡單地導(dǎo)入數(shù)學(xué)的分配理論。就像許多入門數(shù)學(xué)，也是專家戲稱的「玩具模式」那樣，它是從真實世界的東西中徹底簡化出來的。不過它能夠讓你好好思考一些關(guān)鍵議題。例如，它凸顯了下面的情況，就是為幾個競爭團(tuán)體分配資源很容易，只要依他們不同的評價方式，讓他們都認(rèn)為公平即可。　　就像之前的書《遊戲、集合與數(shù)學(xué)》（Game， Set and Math）、《我不知道的另一種有趣的數(shù)學(xué)》（Another Fine Math You’ve Got Me Into）和《數(shù)學(xué)歇斯底里》（Math Hysteria）（後者和本書一樣是牛津大學(xué)出版社〔Oxford University Press〕出版），本書內(nèi)容擷取自1987年至2001年間，我為《科學(xué)人》雜誌（Scientific American）及其外文譯本撰寫的一系列數(shù)學(xué)遊戲?qū)凇诓糠肿隽诵┪⒌恼{(diào)整，所有已知的錯誤已經(jīng)修正，一些數(shù)量不明的新錯誤又加了進(jìn)來，而讀者們的評論以「讀者迴響」為題，適切地置入章末?！　∥一貜?fù)了一些因為篇幅關(guān)係而未能出現(xiàn)在雜誌上的材料，所以這是一種「導(dǎo)演剪接（切法）」，我可以這麼說。主題從圖形（graph）到機(jī)率，從邏輯到極小曲面（minimal surface）〔編注：所有點的平均曲率（mean curvature）為0的曲面〕，從拓?fù)鋵W(xué)到準(zhǔn)晶體（quasicrystal）〔編注：狀態(tài)介於非結(jié)晶的玻璃態(tài)固體（特殊形態(tài)的金屬和其他礦石，以及普通玻璃），與具精確晶格的晶體之間光子的原子型物質(zhì)〕。當(dāng)然，少不了蛋糕的分配。它們泰半以娛樂價值，而非重要性作為抉擇的要件，所以請不要把內(nèi)容想像成研究新領(lǐng)域當(dāng)前活動的完整代表。　　然而，它的確反映了研究新領(lǐng)域當(dāng)前的活動。切蛋糕這個熱門議題是悠久數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的一部分－－至少可回溯至三千五百年前的古巴比倫－－一種從微不足道的東西中挖掘嚴(yán)肅議題的傳統(tǒng)。於是就像本書一樣，當(dāng)你讀到「為什麼電話線老纏在一起？」時，題目本身不只是用來整理如老鼠巢穴般的電話線圈。最好的數(shù)學(xué)有一種好奇的本質(zhì)，所以某個簡單的問題衍生出的想法才能解釋其他許多問題。在真實世界中，許多東西扭轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)：電話線、植物卷鬚、DNA分子、海底電纜?！　∵@四種扭轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)用途，有著許多截然不同的基本特性：如果電信工程師拿走你的電話線，換上一截旋花植物，你一定會大為光火。不過它們也共同具有一個很有用的特性：一個簡單的數(shù)學(xué)模式在它們身上發(fā)光發(fā)熱。它或許無法回答每個你想回答的問題，它或許忽略掉一些重要的實質(zhì)議題，但一個簡單的模式一旦開啟了數(shù)學(xué)分析的大門，那麼更複雜、更精細(xì)的模式就能以此為基礎(chǔ)發(fā)展出來?！　≡诒緯校抑荚诶贸橄笏季S和現(xiàn)實世界的混合體，激發(fā)各種數(shù)學(xué)構(gòu)想。對我來說，收穫不在於實際解決現(xiàn)實世界的問題。主要的收穫是新的數(shù)學(xué)。少少幾頁不可能發(fā)展出數(shù)學(xué)上的重大用途，但對任何有足夠想像力的人來說，可以欣賞到一個數(shù)學(xué)構(gòu)想如何從一種東西出發(fā)，出乎意料地應(yīng)用於一種不同的東西。本書中的最佳範(fàn)例或許是「帝國」與電子電路（electronic circuit）的連結(jié)。一個關(guān)於地球和月球的地圖著色奇怪假設(shè)謎題（第九章），可實際應(yīng)用來測試電子電路板瑕疵這個重要問題（第十章）。重點是，數(shù)學(xué)家一開始是從微不足道的來源（雖然不像這裡舉的例子那麼微不足道），偶然得出中心構(gòu)想，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)它的用途非同小可。　　還有另一種方式。第十五章受到一些亞洲螢火蟲引人注目的行為啟發(fā)，那裡的雄性螢火蟲同步發(fā)出閃爍的光–—或許是為了改善牠們吸引雌性的集體能力，而非個別能力。為什麼閃爍會同步呢？這裡重點出現(xiàn)了，數(shù)學(xué)指出問題所在並提供至少部分解答，而後者又更清楚地告訴我們，相同的數(shù)學(xué)可以應(yīng)用在其他許多關(guān)於同步的問題。我的方法是將整件事轉(zhuǎn)化成你可以玩的方格板遊戲。繞個彎來說：關(guān)於那個遊戲一些看似簡單的問題尚未獲得解答。某種意義來說，我們對實際應(yīng)用的了解，遠(yuǎn)勝於簡單模式本身?！　〕藰O少數(shù)例外，本書每一章均可獨立成篇。你可以從任何地方切入，如果卡住了，不管原因為何，都可以放棄那一章，改讀其他章節(jié)。你的獲益是－－我宣稱－－充分了解數(shù)學(xué)主題的寬廣，以及可以比在學(xué)校學(xué)到的多出多少，對數(shù)學(xué)的廣泛用途感到訝異，還有將整個主題整合成單一、驚喜有力的一套東西的驚奇跨領(lǐng)域連結(jié)。所有這一切將透過解謎和玩遊戲來達(dá)成?！　∵€有，更重要的是，藉由多動腦來完成。　　永遠(yuǎn)不要低估玩耍的力量。　　史都華　　2006年4月於科芬特里（Coventry）

內(nèi)容概要

　　★暢銷科普作家伊恩·史都華的神奇數(shù)學(xué)世界　　★《大自然的數(shù)學(xué)遊戲》、《生物世界的數(shù)學(xué)遊戲》、《給青年數(shù)學(xué)家的信》作者又一力作　　纏在一起的電話線、下不完的棋、這樣綁那樣弄的鞋帶、怎麼切都大大小小的蛋糕，　　20個生活裡的科學(xué)，數(shù)學(xué)天地神奇又迷人的謎題！　　為什麼電話線總是打結(jié)？　　一個木箱最多可以放進(jìn)多少瓶牛奶？　　怎麼綁鞋帶用到的鞋帶最短？　　為什麼科學(xué)家說復(fù)活節(jié)是一個準(zhǔn)晶體？　　君士坦丁大帝如果懂得0與1程式設(shè)計，就可以挽救羅馬帝國的命運(yùn)？！　　還有，更重要的，怎樣切蛋糕才不會讓你的那一半比我的這一半大？

作者簡介

　　伊恩．史都華（Ian Stewart）　　華威大學(xué)（Warwick University）數(shù)學(xué)教授，英國皇家學(xué)會（Royal Society）院士，國際知名數(shù)學(xué)科普作家。他獲獎無數(shù)，不僅影響數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身，也致力於大眾對數(shù)學(xué)的理解，以及其他相關(guān)科學(xué)範(fàn)疇。史都華著作等身，作品包括《上帝擲骰子嗎？》（Does God Play Dice？）、《大自然的數(shù)學(xué)遊戲》（Nature’s Numbers）、《生物世界的數(shù)學(xué)遊戲》（Life’s Other Secret）、《雪花是什麼形狀？》（What Shape Is a Snowflake？）、《數(shù)學(xué)歇斯底里》（Math Hysteria）、《給青年數(shù)學(xué)家的信》（Letters to a Young Mathematician）、《更平坦之地》（Flatterland）等書。譯者簡介陳品秀　  臺北市人，臺大哲學(xué)系畢業(yè)，先後在美國新墨西哥州州立大學(xué)和亞歷桑納大學(xué)藝術(shù)研究所取得碩士學(xué)位。主要關(guān)注為視覺藝術(shù)和大眾文化?，F(xiàn)為英文教師，並從事藝術(shù)創(chuàng)作和翻譯，譯作包括《設(shè)計小史》、《時尚小史》、《設(shè)計的表裡》、《幾隻襪子湊一雙？》等書。

書籍目錄

前言第一章 你的那一半比我的這一半大！第二章 廢除平均律第三章 算術(shù)與舊鞋帶第四章 悖論失去第五章 把圓沙丁魚封進(jìn)錫罐裡第六章 下不完的棋局第七章 「Quod」遊戲第八章 零知識協(xié)定第九章 月球帝國第十章 帝國與電子第十一章 復(fù)活式洗牌第十二章 雙雙泡泡，辛苦又麻煩第十三章 磚廠裡的交叉線第十四章 無嫉妒分配第十五章 瘋狂閃爍的螢火蟲第十六章 為什麼電話線老纏在一起？第十七章 無所不在的西爾賓斯基墊片三角形第十八章 捍衛(wèi)羅馬帝國！第十九章 拿走三角剖分第二十章 復(fù)活節(jié)是一個準(zhǔn)晶體圖片出處……

章節(jié)摘錄

　　復(fù)活節(jié)落在春分當(dāng)天或春分之後出現(xiàn)第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天，春分依慣例是3月21日，甚至可能不是這一天……還有那不是真的月亮，而是教會定義的……噢，管它那麼多，只要知道耶誕節(jié)是哪一天就行了。　　我為《科學(xué)人》雜誌所寫的第一個娛樂性數(shù)學(xué)專欄，就是關(guān)於費馬的耶誕節(jié)定理。隨著復(fù)活節(jié)即將到來，利用我的第九十六篇，也是最後一篇專欄來寫復(fù)活節(jié)似乎是唯一合適的選擇。本章就是根據(jù)那篇最後的專欄寫就的?！　∫Q節(jié)總是在12月25日，所以算出耶誕節(jié)的日期毫無困難……但復(fù)活節(jié)就完全不是那麼回事了。復(fù)活節(jié)可以是3月22日至4月25日間的任何一天，其間長達(dá)五個星期。早期的基督教會設(shè)計了自己的方法，計算復(fù)活節(jié)的日期?！　≈领稊?shù)學(xué)家的行動，要從公認(rèn)歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家高斯，發(fā)明了一套只需要知道相關(guān)年分的簡單規(guī)則開始。不幸的是，高斯的研究有一個小失誤，所以根據(jù)他的規(guī)則算出4200年的復(fù)活節(jié)是4月13日，正確日期應(yīng)該是4月20日。他親自在自己那份已出版的論文上更正了這個錯誤。　　1876年，一個匿名的美國人在科學(xué)期刊《自然》雜誌，提出第一個正確的純粹數(shù)學(xué)程序。1965年，歐拜恩（ThomasH.O’Beirne）在其著作《謎題與悖論》（PuzzlesandParadoxes）中發(fā)表了兩則這類程序，下面我會描述其中一則。較近期的是，晶體學(xué)家麥凱（AlanMacKay，倫敦大學(xué)學(xué)院）注意到，復(fù)活節(jié)是一個時間準(zhǔn)晶體（time-quasicrystal）－－一種謎樣的說法，稍後我也會解釋。　　復(fù)活節(jié)日期逐年變化有一些歷史因素。首先，它必須在星期天，因為耶穌在星期五被釘在十字架上，然後星期天復(fù)活。它和猶太人逾越節(jié)的時間的關(guān)聯(lián)，意味著復(fù)活節(jié)應(yīng)該與逾越節(jié)密切相關(guān)，逾越節(jié)的慶?；顒邮窃诖禾斓谝粋€月圓開始的一星期。　　因此，復(fù)活節(jié)的日期與幾個不同的天文週期有關(guān)，這也是真正困難之處。朔望月（lunarmonth）〔編注：月亮從朔到朔或從望到望的週期，朔是農(nóng)曆每月初1，看不見月亮；望是農(nóng)曆每月15、16或17日，滿月〕現(xiàn)在約29.53天，而太陽年（solaryear）〔編注：地球在公轉(zhuǎn)軌道上對春分點運(yùn)行一周的時間〕是365.24天。也就是一太陽年有12.37個朔望月，這種關(guān)係多不方便啊，因為它不是一個整數(shù)。換算一下，兩百三十五個朔望月非常接近十九個太陽年，而教會確定復(fù)活節(jié)日期的系統(tǒng)利用了這種巧合?！　?25年的尼西亞大公會議（CouncilofNicaea）決議，復(fù)活節(jié)應(yīng)該落在春分當(dāng)天或春分之後出現(xiàn)第一個月圓（但不是那一天）後的第一個星期天。春分是3月晝夜等長那一天：9月秋分時晝夜再次變得等長。此外，依慣例春分會在3月21日。然而，正如我們將看到的，這只是複雜歷史中一個關(guān)鍵的事件?！　￠c年有時會讓真正的春分落在3月22日：這種可能性可以忽略。當(dāng)時是以儒略曆（Juliancalendar）計年，每四年有一個閏年；要經(jīng)過整整十九個儒略年（一儒略年有365.25天）才會再有月圓。換算成慣用的朔望月曆法，這段期間等於兩百三十五個二十九天或三十天的朔望月（有時在閏年是三十一天）。這個週期剛好每七十六年重複一次－－四個十九年的週期，經(jīng)過這段時間，閏年的模式會重複。這裡的數(shù)學(xué)原理是，兩個不同整數(shù)長度的週期在兩者都回到它們原來的位置之前，必須重複的次數(shù)等於兩者的最小公倍數(shù)，而76是19和4的最小公倍數(shù)?！　∵@個十九年的期間稱為月運(yùn)週期（lunarcycle），而在月運(yùn)週期中是以所謂黃金數(shù)來表示年的位置，黃金數(shù)從1開始到19，然後再重複從1開始。復(fù)活節(jié)的日期是以五百三十二年的週期重複?！　∵@是一個井然有序的系統(tǒng)，但不幸的是，數(shù)學(xué)沒有準(zhǔn)確遵循朔望月和太陽年的真正長度，而且隨著時間過去，曆法開始與季節(jié)脫離關(guān)係（著名作家但丁〔DanteAlighieri〕指出，最終1月將不再是冬天的一部分）。討論持續(xù)超過千年，直到1582年，教宗格列高利十三世（PopeGregoryXIII）改革了民曆，刪除100的倍數(shù)的閏年，只留下400的倍數(shù)的閏年（2000年就是一例）。為了改正先前與季節(jié)的脫勾，刪除了該年10月4日至15日之間的十天?！　「窳懈呃邮芴煳膶W(xué)家克拉維烏斯（Clavius）的建議，很少相關(guān)現(xiàn)象能逃過克拉維烏斯的注意。除了黃金數(shù)，教會的計算程序包括一個稱為epact的第二計量，它是1到30之間的一個整數(shù)，以日為單位，度量月亮的假定年齡（始於0＝30＝新月），緊接著相關(guān)年分的1月1日起算。每個世紀(jì)伊始，epact的週期都會修正，但黃金數(shù)的週期毫無差錯地繼續(xù)下去。擇定epact等於改正了儒略曆的錯誤，也修正了兩百三十五個朔望月並未剛好等於十九個太陽年的事實。這類改正沒有發(fā)生在1900年、2000年或2001年，但2002年就派得上用場?！　∵@個系統(tǒng)是折衷方案。天文學(xué)上真正的春分最早可能出現(xiàn)在3月19日－－2096年會發(fā)生－－或在非常晚的3月21日，1903年便是如此。1845年和1923年，在世界上多數(shù)地區(qū)，天文月圓發(fā)生在復(fù)活節(jié)的星期天，而在東經(jīng)地區(qū)則發(fā)生在復(fù)活節(jié)後的星期一。1744年，有一次月圓發(fā)生在復(fù)活節(jié)星期天之前八天的星期六，只有那些在極西經(jīng)的地區(qū)月圓發(fā)生在星期五?！　≌嬲脑铝敛粫鼜撵督虝s?！　榱送瓿伤挠嬎?，教會利用一套字母系統(tǒng)，以ABCDEFG代表一星期七天，以1月1日為A開始。每年都有一個主日字母（dominicalletter），視哪個字母代表星期天〔編注：若1月1日是星期天，該年的主日字母就是A；若1月2日是星期天，該年的主日字母是B，依此類推〕。因為所有其他計算法都忽略閏年的2月29日（就這些目的而言，它視同3月1日），在閏年會有兩個主日字母－－一個字母用於1月和2月，另一個字母用於其餘月分。利用所有這些資訊，就可能為任一給定年分列出相關(guān)年曆表，並找出復(fù)活節(jié)的日期?！　W拜恩的方法納入各種週期，並調(diào)整為一個算術(shù)組合，現(xiàn)在我會說明這種方法，把它運(yùn)用在2001年的情況?！　∽屛覀儼迅窳懈呃麜训哪攴衷O(shè)為x。現(xiàn)在算出下面十個計算程序（很容易寫成電腦程式）：　　1.x除以19，得到一個商（予以忽略）和一個餘數(shù)A?！　?.x除以100，得到一個商B和一個餘數(shù)C?！　?.x除以4，得到一個商D和一個餘數(shù)E?！　?.8B＋13除以25，得到一個商G和一個餘數(shù)（予以忽略）?！　?.19A＋B－D－G＋15除以30，得到一個商（予以忽略）和一個餘數(shù)H。　　6.A＋11H除以319，得到一個商M和一個餘數(shù)（予以忽略）?！　?.C除以4，得到一個商J和一個餘數(shù)K。　　8.2E＋J－K－H＋M＋32除以7，得到一個商（予以忽略）和一個餘數(shù)L。　　9.H－M＋L＋90除以25，得到一個商N(yùn)和一個餘數(shù)（予以忽略）?！　?0.H－M＋L＋N＋19除以32，得到一個商（予以忽略）和一個餘數(shù)P?！　t復(fù)活節(jié)的星期天是第N月的第P天（3＝3月，4＝4月）?！　〈送猓狐S金數(shù)是A＋1，而epact是23－H或53－H中介於0與30之間者。2E＋2J－K除以7，然後取其餘數(shù)，就能得到主日字母。然後0＝A，1＝B，2＝C，依此類推?！　∥覀冇脁＝2001試算這個方法。則（1）A＝6；（2）B＝20，C＝1；（3）D＝5，E＝0；（4）G＝6；（5）H＝18；（6）M＝0；（7）J＝0，K＝1；（8）L＝6；（9）N＝4；（10）P＝15。所以2001年的復(fù)活節(jié)是4月15日?！　〈笾抡f來，這十個步驟有下列作用：　　1.找出該年在19-年週期中的位置（事實上，A＋1就是這一年的黃金數(shù)）。　　2.格列高利曆的閏年規(guī)則：每個世紀(jì)年（100的倍數(shù)年）B增加1?！　?.D只在世紀(jì)年才會增加，E代表不是閏年的世紀(jì)年數(shù)?！　?.G是根據(jù)epact做的月分更正?！　?.H相當(dāng)於epact（23－H或53－H中介於0與30之間者）。　　6.M處理關(guān)於epact的一個特殊情況。事實上，M＝0，除非H＝29（當(dāng)M＝1且epact是24），或H＝28且A＞10（又當(dāng)M＝1）?！　?.開始計算復(fù)活節(jié)月圓的星期天。處理一般閏年的問題?！　?.從epact導(dǎo)出月圓的日期。　　9.算出復(fù)活節(jié)的月分?！　?0.算出復(fù)活節(jié)在那個月的日期。　　一般來說，復(fù)活節(jié)的日期會逐年晚上八天，但有時也會因為各種影響（閏年、月亮的週期，諸如此類）而提前，以一種看似不規(guī)則卻其實遵循上述算術(shù)程序的方式進(jìn)行。麥凱了解這種近規(guī)則的（near-regular）後退情況應(yīng)該用一個圖表顯示出來，圖表呈現(xiàn)年分與復(fù)活節(jié)日期的對應(yīng)（圖65）。結(jié)果近乎一個規(guī)則晶格（regularlattice），有如一個晶體的原子晶格（atomiclattice）（麥凱是晶體學(xué)家）。然而，這個曆法的特性讓日期與晶格相較略有差異，所以這個圖式是一個準(zhǔn)晶體?！　D651950年至2010年的復(fù)活節(jié)準(zhǔn)晶體　　左座標(biāo)由上到下→　　4月25日　　4月20日　　4月15日　　4月10日　　4月5日　　3月31日　　3月26日　　3月21日　　準(zhǔn)晶體不如晶體（它們的原子形成一個精準(zhǔn)的晶格）那麼規(guī)則，但決不隨意。　　準(zhǔn)晶體的發(fā)現(xiàn)與在平面上鋪磁磚的奇特方式有關(guān)，而這項發(fā)現(xiàn)來自牛津大學(xué)物理學(xué)家彭羅斯（RogerPenrose）。鋪磁磚時用了兩種形狀的磁磚，剛好鋪滿平面，但沒有週期性地重複同樣的圖樣。準(zhǔn)晶體的原子有同樣的準(zhǔn)規(guī)則性（almostregularity）?！　∮伸妒褂酶窳懈呃麜逊?，復(fù)活節(jié)日期的週期要在整整五百七十萬年之後才會重複：這是70，499，183個朔望月和2，081，882，250天。雖然遠(yuǎn)在第一次重複之前，這個曆法就會脫離相關(guān)的天文事實。無論如何，月和日的長度正緩緩改變，主要是因為潮汐摩擦力（tidalfriction）的關(guān)係?！　∑渌蛩匾部赡茉斐筛淖儭?928年，英國國會做了一項決議，如果相關(guān)宗教權(quán)威人士同意，可以把復(fù)活節(jié)的日期固定在4月第二個星期六之後的第一個星期天，日後不會再有爭端。果真如此，未來復(fù)活節(jié)或許會好算多了。儘管在此之前，它是一個天文週期整數(shù)近似值的絕佳範(fàn)例，具足了本身有趣的幾何解釋。而你可以編寫復(fù)活節(jié)規(guī)則的公式，然後找出解答，例如1，000，000年的復(fù)活節(jié)是哪一天呢？相信一定樂趣十足?！　〈鸢福?月16日，和2006年一樣。

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