數(shù)學(xué)史

前言

　　不管一個(gè)人對(duì)于數(shù)學(xué)史方面的書籍如何熟悉，他往往還是樂(lè)于尋找一本新書，看看書中對(duì)某個(gè)論題是怎樣處理的。在這一方面，斯科特博士已無(wú)須我們?cè)龠M(jìn)行介紹。他早年關(guān)于華萊士和笛卡兒的著作已顯示出他在這一方面的專心致志和博學(xué)，這兩本書是基于他對(duì)原始資料的系統(tǒng)研究而寫成的。在寫現(xiàn)在這本書的時(shí)候，他遵循了同樣的方針，并且涉及的范圍更為廣闊。他廣泛地說(shuō)明了一個(gè)數(shù)學(xué)家，特別是當(dāng)他首次提出聞名于世的偉大發(fā)現(xiàn)和發(fā)明時(shí)，實(shí)際上說(shuō)了些什么，以及是怎樣說(shuō)的。于是我們就對(duì)從萊登紙草到現(xiàn)代計(jì)算方法的詳細(xì)描述獲得了栩栩如生的印象。讓人高興的是斯科特博士對(duì)于埃及、巴比倫和中國(guó)最早期的數(shù)學(xué)作出了如此充分的說(shuō)明。通過(guò)以往5。年來(lái)學(xué)者們的工作，關(guān)于這個(gè)古代時(shí)期，尤其是關(guān)于這一時(shí)期的算術(shù)知識(shí)以及實(shí)際上的代數(shù)方法，人們了解得已經(jīng)很多。希臘人對(duì)數(shù)學(xué)出色的貢獻(xiàn)久已為人們所認(rèn)識(shí)，而現(xiàn)在我們對(duì)他們?cè)诿妊繒r(shí)期的發(fā)展又知道得更多了。作進(jìn)一步說(shuō)明用的插圖的選擇是恰當(dāng)?shù)模恳环冀?jīng)過(guò)了細(xì)致的審查，并給我們以更多的教益。

內(nèi)容概要

科學(xué)給人以知識(shí)，歷史給人以智慧。這本數(shù)學(xué)史展現(xiàn)給我們的不僅有數(shù)學(xué)知識(shí)，更包括先人的智慧。它講述了從上古到19世紀(jì)兩千多年整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中主要數(shù)學(xué)概念和命題的發(fā)展，將代數(shù)、幾何、算術(shù)、三角學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)娓娓道來(lái)，讓我們能深入了解這些概念和命題的產(chǎn)生之根和發(fā)展路徑，并進(jìn)一步描述了數(shù)學(xué)思維和方法是如何逐步擺脫上古時(shí)期對(duì)天文學(xué)和實(shí)用性的依附，一代代天才的數(shù)學(xué)家又是如何以他們令人驚嘆的思維和推理能力從數(shù)量關(guān)系和空間形式上去解釋世界的。最重要的是，作者從整個(gè)文化層面探討了小到個(gè)人的數(shù)學(xué)觀念，大到民族的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，如何在人類文明發(fā)展的大背景下，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次的沖突與整合、淘汰與優(yōu)化，以及同其他學(xué)科的交織與融合，最終形成了整個(gè)人類輝煌的數(shù)學(xué)文明。

書籍目錄

前言作者序第一章  上古時(shí)代的數(shù)學(xué)第二章  希臘數(shù)學(xué)的起源第三章  三角學(xué)的發(fā)明第四章  亞歷山大科學(xué)的衰微——黑暗時(shí)期與復(fù)興第五章  東方的數(shù)學(xué)第六章  文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)：從雷格蒙塔努斯到笛卡兒第七章  17世紀(jì)：幾何學(xué)的新方法第八章  力學(xué)的興起第九章  小數(shù)和對(duì)數(shù)的發(fā)明第十章  微積分的發(fā)明第十一章  二項(xiàng)式定理和《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》第十二章  分析方法的發(fā)展第十三章  從歐拉到拉格朗日第十四章  近代幾何之開(kāi)端第十五章  算術(shù)——數(shù)學(xué)中的女王附錄一  書中所提人物的小傳附錄二  對(duì)書中提到的某些論題的簡(jiǎn)短注釋參考書目人名譯名對(duì)照表地名譯名對(duì)照表后記

章節(jié)摘錄

　　第五章　東方的數(shù)學(xué)在前面所評(píng)述的希臘文化時(shí)期之前很久，遠(yuǎn)東的民族就已經(jīng)開(kāi)始對(duì)數(shù)學(xué)表現(xiàn)出興趣了，因此我們現(xiàn)在要轉(zhuǎn)而談?wù)剸|方。在公元前1200年左右，印度河流域?yàn)檠爬裁褡逅?。在這之后，一種粗糙的文化慢慢開(kāi)始在印度民族中出現(xiàn)了。跟古代其他民族一樣，印度民族的數(shù)學(xué)知識(shí)也是由于研究星體的運(yùn)動(dòng)而發(fā)展起來(lái)的。毫無(wú)疑問(wèn)，印度人很早就有了初步的天文知識(shí)，這是他們?yōu)榱吮硎炯竟?jié)的循環(huán)而培育起來(lái)的。他們?cè)缫延辛烁鶕?jù)太陽(yáng)和月亮編寫出的歷書。他們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期地仔細(xì)觀察和記錄這些星體的運(yùn)動(dòng)，逐步獲得了大量的計(jì)算技巧。習(xí)慣上都強(qiáng)調(diào)東方數(shù)學(xué)知識(shí)之邃古，我們不清楚為什么要這樣做，因?yàn)楸４嫦聛?lái)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中沒(méi)有一本可以被肯定為是紀(jì)元前寫的，吠陀時(shí)期的文獻(xiàn)也沒(méi)有顯示出什么數(shù)學(xué)方面的東西。因此，要準(zhǔn)確評(píng)價(jià)印度的成就是不可能的。即便在后來(lái)作家的著作中，也沒(méi)有援引外來(lái)的材料或談到外來(lái)的影響，可是有確鑿的證據(jù)說(shuō)明，這種影響是不小的。在公元前許多世紀(jì)，印度已與西方有所接觸。亞歷山大大帝在征服埃及后，曾出征到美索不達(dá)米亞和整個(gè)中亞細(xì)亞。到了公元前327年，印度河流域已經(jīng)處在他的管轄之下了。亞歷山大向東方出征的直接后果之一，便是刺激了東西方之間的交流。在他死后，作為文化中心的巴比倫就處于塞琉西王朝的統(tǒng)治之下了。巴比倫人、波斯人、希臘人和印度人在這里相互接觸，而這種同希臘科學(xué)的接觸對(duì)印度人是很有好處的。但與希臘人不同，印度人在數(shù)學(xué)上只想獲得算術(shù)和代數(shù)方面的才能，他們雖然在熱心地培育這兩個(gè)學(xué)科，但數(shù)學(xué)對(duì)他們來(lái)說(shuō)無(wú)非是一種計(jì)算技巧，他們并將之簡(jiǎn)化為一套規(guī)則的技巧，他們所掌握的幾何學(xué)從來(lái)沒(méi)有達(dá)到過(guò)很高標(biāo)準(zhǔn)。許多世紀(jì)以來(lái)，它都沒(méi)有超越過(guò)用少數(shù)幾個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)證明的公式來(lái)進(jìn)行測(cè)量的原始形式，這些公式都是從外國(guó)抄襲來(lái)的，而在抄襲中訛誤則是屢見(jiàn)不鮮。在整個(gè)東方數(shù)學(xué)中，任何地方都找不到絲毫的證據(jù)可以看出有我們稱之為證明的那種東西?！坝《葦?shù)學(xué)家對(duì)于我們所說(shuō)的數(shù)學(xué)方法是沒(méi)有什么興趣的。他們沒(méi)有提出一個(gè)定義，不大堅(jiān)持邏輯順序，他們并不關(guān)心他們所用的規(guī)則制定得是否適當(dāng)，而且對(duì)基本原理一般都漠然視之。他們從來(lái)沒(méi)有把數(shù)學(xué)作為一個(gè)研究科目來(lái)提高，事實(shí)上，他們對(duì)學(xué)問(wèn)的態(tài)度可以說(shuō)顯然是非數(shù)學(xué)化的?！彪m然如此，他們的貢獻(xiàn)并不是不重要的，特別是他們?cè)跁鴮憯?shù)字方面所使用的位置值原理一直被說(shuō)成是“他們最偉大的成就，并且在所有的數(shù)學(xué)發(fā)明中，是一個(gè)對(duì)智慧的總進(jìn)展最有貢獻(xiàn)的發(fā)明”。在處理那些導(dǎo)致一個(gè)以上未知數(shù)的方程的問(wèn)題方面，印度人獲得了大量技巧。他們解二次方程的方法即使放在現(xiàn)代教科書中也未必不合適，而在他們嘗試解某些簡(jiǎn)易的三次方程和四次方程的實(shí)例時(shí)，曾預(yù)見(jiàn)到處理這些方程的現(xiàn)代發(fā)展。他們沒(méi)有為有理量與無(wú)理量之間的微妙區(qū)別所阻礙——這些問(wèn)題一直是希臘人所感到困惑的，而毫不猶豫地接受了二次方程的無(wú)理數(shù)解，因而勝過(guò)了他們的前人。關(guān)于絕對(duì)負(fù)數(shù)這個(gè)非常重要的概念的引出，也要?dú)w功于印度人。然而，他們突出的貢獻(xiàn)是在研究不定方程方面。在這方面，他們超過(guò)了丟番圖，并且預(yù)見(jiàn)到現(xiàn)代代數(shù)中的某些發(fā)現(xiàn)。如前所述，印度人研究數(shù)學(xué)的動(dòng)力是由于其試圖制定一種標(biāo)記季節(jié)循環(huán)的歷書，因此他們最早的著作是關(guān)于天文學(xué)的。這些著作就是所謂的《悉曇多》（Siddhantas，照字面直譯就是《已經(jīng)確立的結(jié)論》）。然而，《悉曇多》的內(nèi)容比那些僅僅記載巴比倫人流傳下來(lái)的結(jié)果的編纂物豐富些。它們的內(nèi)容有相當(dāng)多是理論知識(shí)，其中可以清楚地看到希臘影響的痕跡。《悉曇多》共有五卷，其中《蘇利耶歷數(shù)全書》（Surya Siddhanta）和《包利薩歷數(shù)全書》（Paulisa Siddhanta）是最重要的，可以認(rèn)為其中包含有印度三角學(xué)的基礎(chǔ)。隨著西方羅馬帝國(guó)的衰微，數(shù)學(xué)活動(dòng)的中心移到了東方。在公元500一公元1000年期問(wèn)，印度出現(xiàn)了四五個(gè)有名的數(shù)學(xué)家。印度數(shù)學(xué)最繁盛的時(shí)期可能是在聞名于6世紀(jì)初的天文一數(shù)學(xué)家阿耶波多的著作發(fā)表前后。他的著作實(shí)質(zhì)上是《悉曇多》中所載結(jié)果的系統(tǒng)化，他的論文《阿耶波多歷書》（Aryabhativa）是特別有價(jià)值的，因?yàn)樗粌H推動(dòng)了這門學(xué)科的研究，而且還描繪了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的狀態(tài)。書中可以找到常用算術(shù)運(yùn)算的種種規(guī)則，其中包括乘方和開(kāi)方。此外還有一些關(guān)于簡(jiǎn)單的二次方程、簡(jiǎn)單的代數(shù)恒等式和等差級(jí)數(shù)的知識(shí)。但它最重要的一個(gè)特點(diǎn)乃是書中用連分?jǐn)?shù)處理了不定方程的問(wèn)題，這和今天所用的方法實(shí)質(zhì)上相同。然而，正如印度關(guān)于數(shù)學(xué)的所有其他著作一樣，它很難說(shuō)是一本科學(xué)論著。它收集了66條規(guī)則，其中許多都是非常復(fù)雜并且難以遵守的，它的重點(diǎn)總是放在論題的計(jì)算方面。書中沒(méi)有一處地方提示過(guò)證明方法，在為了得到解答而采取的一個(gè)個(gè)步驟中，進(jìn)行的方法與所有古代的東方問(wèn)題一樣，都是巧妙地用文字來(lái)解釋的。如前所述，阿耶波多非常注意三角學(xué)，他引入了正弦和正矢的概念，對(duì)于托勒密的繁拙的半弦來(lái)說(shuō)是一個(gè)顯著的進(jìn)步。他的幾何學(xué)僅限于用少數(shù)規(guī)則來(lái)確定立體的體積，并且這些規(guī)則中不少是不準(zhǔn)確的。例如，棱錐體的體積被定為底面積和高的乘積之一半，球的體積被定為具有同樣半徑的圓面積和這面積的平方根之乘積。雖然如此，他對(duì)于圓周與其直徑之比卻求出了一個(gè)非常相近的近似值。他是這樣說(shuō)的：100加4，乘以8，再加62000，結(jié)果是直徑為20000的圓周的近似值，這就導(dǎo)致所求的比值是3.1416。但由于某種原因，直到12世紀(jì)前后印度數(shù)學(xué)家始終沒(méi)有使用過(guò)這個(gè)值。阿耶波多以后的6個(gè)世紀(jì)，即公元600—公元1200年，是一個(gè)燦爛輝煌的時(shí)期，同時(shí)也是一個(gè)荒蕪貧瘠的時(shí)期。這個(gè)時(shí)期最不朽的貢獻(xiàn)仍然是在不定方程的研究方面，這個(gè)問(wèn)題對(duì)印度人總是具有一種強(qiáng)烈的吸引力。前面我們看到，丟番圖在處理這種問(wèn)題時(shí)顯示了相當(dāng)?shù)牟胖牵坪鯖](méi)有得出求解的普遍法則。要把建立普遍法則的功績(jī)歸諸印度數(shù)學(xué)家會(huì)是言過(guò)其實(shí)的，但是，他們的工作對(duì)于我們?cè)趤G番圖那里所能找到的東西來(lái)說(shuō)，則標(biāo)志著明顯的進(jìn)步。同時(shí)，有些跡象表明這個(gè)時(shí)期對(duì)幾何學(xué)的興趣恢復(fù)了，人們開(kāi)始研究直角三角形的性質(zhì)，對(duì)純粹幾何學(xué)的不大徹底的處理也出現(xiàn)了。就在這個(gè)時(shí)期，特別是在分析方面產(chǎn)生了許多顯示出相當(dāng)技巧的數(shù)學(xué)家，他們是婆羅摩笈多（生于598年）、摩訶吠羅（活躍于9世紀(jì)）、施里德哈勒和婆什迦羅（約1114—1185）。婆羅摩笈多是他的國(guó)家里最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他的工作主要建立在前人的工作上，尤其是阿耶波多的基礎(chǔ)上，但其中也有許多創(chuàng)造性的東西。他的著作中經(jīng)常出現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算（包括對(duì)開(kāi)方問(wèn)題的處理）、利息問(wèn)題、比例、等差級(jí)數(shù)以及自然數(shù)的平方和等問(wèn)題。我們?cè)谶@里還可以看到他對(duì)負(fù)數(shù)及零已經(jīng)有了清楚的概念。他提出了解各種二次方程的規(guī)則，這些規(guī)則是用一系列問(wèn)題的解答作為例證來(lái)說(shuō)明的，但在各個(gè)步驟中仍然是用文字?jǐn)⑹龅?，此外別無(wú)其他方式。然而，他在不定方程方面卻顯示出最偉大的才能。阿耶波多簡(jiǎn)單陳述過(guò)解一次不定方程的方法。婆羅摩笈多則大大超過(guò)了這一點(diǎn)，他提出了方程ax+by=c（a，b和c都是整數(shù)）的完全整數(shù)解，以及處理不定方程ax2+1=y2的巧妙方法。雖然他在這個(gè)數(shù)學(xué)分支中的工作不如我們?cè)?個(gè)多世紀(jì)以后婆什迦羅的工作中所看到的那樣完整，但這已足夠給予他在數(shù)學(xué)史上一個(gè)不朽的地位了……

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