遍歷論

內(nèi)容概要

　　遍歷論是一個重要的數(shù)學(xué)學(xué)科，研究幾乎所有狀態(tài)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，并指出每個典型的狀態(tài)點(diǎn)的運(yùn)動軌道均遍歷系統(tǒng)的所有狀態(tài)，且就可積函數(shù)而言這種軌道的時間平均等于函數(shù)的空間平均，《遍歷論》介紹遍歷論的基本知識和基礎(chǔ)技術(shù)，亦容納少量最新研究成果，內(nèi)容包括遍歷定理，Shannon-McMillan-Breiman定理，熵的理論和計算等，《遍歷論》可作為數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)研究生的教材，也可作為物理學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各專業(yè)研究生和科技人員的參考書。

作者簡介

　　孫文祥，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師.研究方向?yàn)槲⒎謩恿ο到y(tǒng)的遍歷理論，主導(dǎo)研究非一致雙曲系統(tǒng)的周期逼近和周期偏差課題，以及帶奇點(diǎn)流的熵退化課題.長期講授遍歷論、微分動力系統(tǒng)、Pesin理論等課程，解決了四個公開數(shù)學(xué)問題.在國際著名的數(shù)學(xué)綜合學(xué)術(shù)期刊和專業(yè)學(xué)術(shù)期刊發(fā)表研究成果論文二十余篇.

書籍目錄

第1章 預(yù)備知識
1.1 σ代數(shù)與測度
1.1.1 概率空間的定義
1.1.2 概率空間的形成
1.1.3 單調(diào)類和σ代數(shù)
1.1.4 積概率空間
1.1.5 Borelσ代數(shù)
1.2 可測函數(shù)與積分
1.2.1 可測函數(shù)
1.2.2 幾乎處處收斂
1.2.3 積分
1.3 正則測度，絕對連續(xù)測度，Lebesgue數(shù)與Perron-Frobenius定理
1.4 習(xí)題
第2章 遍歷定理
52.1 保測映射
2.1.1 概念
2.1.2 例子
2.2 遍歷測度
2.3 Birkhoff遍歷定理
2.3.1 Birkhoff遍歷定理的陳述
2.3.2 對遍歷定理的解釋
2.3.3 應(yīng)用
2.3.4 遍歷定理的證明
2.4 Poincare回復(fù)定理
2.5 習(xí)題
第3章 測度熵
3.1 測度熵的概念
3.1.1 測度熵
3.1.2 測度熵定義的合理性的討論
3.2 條件熵與測度熵
3.2.1 條件熵
3.2.2 用條件熵研究測度熵
3.3 測度熵的性質(zhì)
3.3.1 映射的迭代
3.3.2 熵是同構(gòu)不變量
3.4 測度熵的計算
3.4.1 Kolmogorov-Sinai定理
3.4.2 熵計算的例子
3.5 習(xí)題
第4章 Shannon-McMillan-Breiman定理
4.1 條件期望，條件測度和條件熵.：
4.2 Shannon-McMillan-Breiman定理
4.3 測度熵的另一種定義
4.4 習(xí)題
第5章 拓?fù)潇?br />5.1 拓?fù)潇氐拈_覆蓋定義
5.2 拓?fù)潇氐牡葍r定義
5.2.1 用生成集和分離集定義拓?fù)潇?br />5.2.2 開覆蓋定義，生成集定義，分離集定義相互等價
5.2.3 迭代系統(tǒng)和乘積系統(tǒng)的拓?fù)潇?br />5.3 非游蕩集Ω（F）和h（T）=h（T|Ω（T））的證明
5.3.1 非游蕩集的概念和簡單性質(zhì)
5.3.2 證明h（T）=h（T|Ω（T）
5.4 拓?fù)潇氐挠嬎悖↖）
5.4.1 可擴(kuò)同胚
5.4.2 可擴(kuò)映射的拓?fù)潇?br />……
第6章 變分原理
第7章 流的熵
第8章 拓?fù)鋲?br />參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：   插圖：   拓?fù)涞葍r的兩個流具有相同的軌道拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而具有相同的動力學(xué)性態(tài)?？紤]到離散系統(tǒng)情形拓?fù)潇厥峭負(fù)涞葍r系統(tǒng)的不變量，人們也希望拓?fù)潇啬苁堑葍r流的某種程度上的不變量，誠然，拓?fù)潇仉S時間變換而變化，它在允許時間變換的流等價之下應(yīng)該以相當(dāng)復(fù)雜的方式變化，但至少希望等價的流能保持0熵和∞熵這樣極端的熵值，實(shí)際情況是等價流的熵變化可以相當(dāng)奇異。1980年Ohn0構(gòu)造了例子（見參考文獻(xiàn)『9]）指出，等價的連續(xù)流可以不保持0熵。2009年Sun—Youn9—Zhou構(gòu)造例子（見參考文獻(xiàn)[15]）指出，即使在微分流（即流作為映射是C∞的）范疇這種現(xiàn)象也存在，即等價的微分流可以不保持0熵。這例子說明，熵的奇異變化不是由空間拓?fù)浜土鞯奈⒎终齽t性引起的，而是由流的時間重新參數(shù)化引起的，Sun—Zhang構(gòu)造的例子則展示了極端奇異情形：等價的兩個連續(xù)流一個有0熵而另一個有∞熵（見參考文獻(xiàn)[17]）。這些奇異現(xiàn)象只在帶不動點(diǎn)的等價流發(fā)生，即沒有不動點(diǎn)的等價流保持0熵和∞熵。

編輯推薦

《遍歷論》可作為數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)研究生的教材，也可作為物理學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各專業(yè)研究生和科技人員的參考書。

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