波形松弛方法

前言

微分方程可用來描述自然規(guī)律，而微分方程求解則是現(xiàn)代大型科學工程計算的核心。隨著計算機的飛速發(fā)展，需求解問題的規(guī)模越來越大，而迭代法作為解決大規(guī)模問題的有效方法，也成為求解大型微分方程最重要的方法之一.波形松弛方法，有時也稱為動力學迭代方法，作為一種典型的整體動態(tài)迭代方法，更受到越來越多科學工作者的關(guān)注。隨著學者們的不斷研究與探索，波形松弛方法在理論分析方面已經(jīng)取得極大的發(fā)展。此方法最大的優(yōu)點是將復雜的系統(tǒng)解耦，并使解耦后的子系統(tǒng)保持原系統(tǒng)的某些特性，而且能做到并行求解。在當今科技高速發(fā)展的年代，并行算法的求解得到廣大學者的關(guān)注，而且實際問題的并行化也是大型工程應用領(lǐng)域的迫切需求。在這樣的情況下，波形松弛方法作為一種可并行實現(xiàn)的方法日臻成熟。波形松弛方法自1982年在電路模擬領(lǐng)域被提出以來，不但在電子工程界得到廣泛的應用，而且在科學計算界也得到普遍重視。實際上，在波形松弛方法出現(xiàn)以前，微分方程領(lǐng)域就存在著著名的Picard迭代方法?，F(xiàn)在我們知道，其實這僅僅是波形松弛方法的一種簡單形式。一般而言，人們對微分方程的認識主要是基于定性分析和數(shù)值分析這兩種方法。定性分析一般難于全面描述一般方程的性態(tài)，而且對于大型復雜系統(tǒng)也無能為力；而一般數(shù)值方法計算過程比較單一，不能充分利用計算資源，并且為了提高精度而改變步長時，需要對整個過程重新計算，從而消耗大量時間?，F(xiàn)在，許多工業(yè)問題都要求快速、實時的響應，例如飛行器或艦船的模擬與控制、期權(quán)價格計算、分子動力學的模擬、病理學的模擬、流體結(jié)構(gòu)的計算、長時間的天氣預報以及衛(wèi)星軌道控制等，單一的數(shù)值計算方法都難以完全勝任。利用波形松弛方法求解復雜問題不僅能夠達到工業(yè)生產(chǎn)中所要求的精度，而且能夠從松弛迭代過程看出問題的性態(tài)變化趨勢。更為重要的是，松弛后的系統(tǒng)由不耦合或弱耦合的子系統(tǒng)組成，如果再對其進行并行處理，則可節(jié)省大量運算時間。 目前，波形松弛方法已經(jīng)應用到更復雜的模型，比如隨機微分方程、拋物型偏微分方程等。波形松弛方法的解耦與并行的思想更是被應用到其他算法中，形成許多高效的新算法，比如新型區(qū)域分解、新型多重網(wǎng)格以及其他的一些新型算法。波形松弛方法的實現(xiàn)過程相對簡單，并且在這方面的研究已趨于成熟。近年，隨著與各種算法的交叉融合，波形松弛方法的思想得到更廣闊和更深入的發(fā)展。因此，作者認為目前有必要對波形松弛方法及時做一個總結(jié)。同時，考慮到它的發(fā)展現(xiàn)狀，希望能對其進一步的研究與推廣起到促進作用。本書大部分內(nèi)容取自作者多年來在波形松弛方法方面所做的科學研究工作，并且為兼顧全書的完整性，篩選了少量該領(lǐng)域的成熟成果。自1995年起，作者一直從事波形松弛方法的理論分析以及在電路模擬領(lǐng)域內(nèi)的應用等研究工作。當前，作者正致力于波形松弛方法與其他方法的交叉應用以及波形松弛方法的并行實現(xiàn)等問題的研究。本書的部分內(nèi)容曾作為西安交通大學研究生學位課程多次講授，受到學生的歡迎。書中基本內(nèi)容散見于有關(guān)波形松弛方法的諸多文獻中。為了便于讀者閱讀，我們盡量用比較通俗易懂的語句敘述，內(nèi)容方面注重條理性和系統(tǒng)性。同時，既重視基礎(chǔ)理論，也注意最新進展，努力使讀者閱讀本書后能很快地進入到波形松弛方法的前沿研究中，而且也容易利用此方法去解決實際問題。經(jīng)過整理、歸納，并總結(jié)學生的反饋意見等，在不斷修改、豐富和完善后，最終完成了本書的定稿。 本書主要內(nèi)容包括三個部分，除緒論外共11章。具體安排如下： 緒論部分介紹波形松弛方法的基本思想，內(nèi)容比較簡單，為后面部分做一些鋪墊。 第1-6章為第一部分，遵循由簡單到復雜的順序，介紹波形松弛方法在不同系統(tǒng)初值問題中的應用，這些初值問題可以看作工程應用領(lǐng)域中瞬態(tài)響應問題的抽象模型。 第7-9章為第二部分，與第一部分相對應，這一部分針對工程應用領(lǐng)域中普遍關(guān)注的穩(wěn)態(tài)響應問題，集中介紹周期問題的波形松弛方法。 第10-11章為第三部分，主要介紹波形松弛方法的加速技術(shù)，以及在特征值求解和模型降階等方法中的應用。 在本書的寫作過程中，作者的學生劉軍、陳芳、李榮建、張輝、孔旭和李一鵬等同學付出了許多辛勤勞動，尤其是劉軍同學，他長期負責材料的收集和整理等繁雜工作。在多年的研究工作和本書的寫作中，作者的家人一直為作者營造著溫馨和諧的家庭環(huán)境，使作者無后顧之憂。本書的出版得到了西安交通大學騰飛特聘教授科研配套經(jīng)費的支持。在本書出版之際，衷心感謝所有支持和幫助過作者的人和機構(gòu)。 由于作者水平有限，書中不妥與錯誤之處在所難免，希望廣大讀者和同仁不吝賜教。 蔣耀林 2009年1月于西安

內(nèi)容概要

本書主要討論用于求解微分方程并具有廣泛應用背景的波形松弛方法理論及應用。除緒論外，全書共11章，基本內(nèi)容包括初值問題與周期問題的連續(xù)及離散波形松弛方法的收斂性、波形松弛算子的譜理論、波形松弛方法的加速算法，以及其他一些常用方法。全書論證詳盡，系統(tǒng)性強，各章內(nèi)容自成體系，又相互聯(lián)系。為便于讀者理解和閱讀，在內(nèi)容安排上，由淺人深，循序漸進，詳略得當。    本書可供計算數(shù)學、應用數(shù)學、電路與系統(tǒng)以及計算機相關(guān)專業(yè)研究生閱讀，同時也可作為理工類相關(guān)專業(yè)教師以及從事科學和工程計算的科研工作者的參考書。

書籍目錄

緒論  0.1　波形松弛方法的基本思想  0.2　波形松弛方法的簡單分類第1章  常微分方程的波形松弛方法  1.1　泛函分析預備知識    1.1.1　Banach空間    1.1.2　線性算子譜與譜半徑    1.1.3　壓縮映射原理  1.2　線性微分方程的波形松弛方法    1.2.1　迭代格式    1.2.2　連續(xù)時間情形    1.2.3　離散時間情形  1.3　非線性微分方程的波形松弛方法    1.3.1　一階微分方程情形    1.3.2　二階微分方程情形  1.4　波形松弛算子譜與偽譜第2章  線性微分代數(shù)方程的波形松弛方法  2.1　微分代數(shù)方程簡介  2.2　波形松弛方法    2.2.1　連續(xù)波形松弛方法    2.2.2　離散波形松弛方法    2.2.3　波形Krylov子空間方法  2.3　波形松弛算子譜與偽譜    2.3.1　波形松弛算子譜    2.3.2　波形松弛算子偽譜第3章  非線性微分代數(shù)方程的波形松弛方法  3.1　典型微分代數(shù)方程的波形松弛方法    3.1.1　半顯式微分代數(shù)方程    3.1.2　簡單隱式微分代數(shù)方程  3.2　一般微分代數(shù)方程的波形松弛方法    3.2.1　完全隱式微分代數(shù)方程    3.2.2　高指標微分代數(shù)方程  3.3　單調(diào)波形松弛方法    3.3.1　初始值與輸入函數(shù)的單調(diào)依賴性    3.3.2　收斂性分析    3.3.3　初始迭代選取第4章　積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法  4.1　線性積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法    4.1.1　連續(xù)波形松弛方法    4.1.2　離散波形松弛方法    4.1.3　多重分裂波形松弛方法    4.1.4　波形Krylov子空間方法    4.1.5　矩陣分裂方法  4.2　非線性積分微分代數(shù)方程的波形松弛方法    4.2.1　連續(xù)波形松弛方法    4.2.2　離散波形松弛方法第5章  時滯微分方程的波形松弛方法  5.1　顯式時滯常微分方程的波形松弛方法    5.1.1　簡單時滯微分方程    5.1.2　典型時滯微分方程    5.1.3　廣義時滯常微分方程  5.2　隱式時滯常微分方程的波形松弛方法  5.3　時間域無損傳輸線方程的波形松弛方法    5.3.1　無損傳輸線方程模型    5.3.2　波形松弛方法第6章　偏微分方程的波形松弛方法  6.1　多重網(wǎng)格波形松弛方法    6.1.1　多重網(wǎng)格方法    6.1.2　連續(xù)時間情形    6.1.3　離散時間情形  6.2　區(qū)域分解波形松弛方法    6.2.1　區(qū)域分解方法介紹    6.2.2　傳統(tǒng)Schwarz波形松弛方法    6.2.3　優(yōu)化Schwarz波形松弛方法第7章　常微分方程的周期波形松馳方法第8章　微分代數(shù)方程的周期波形松馳方法第9章　偏微分方程的周期波形松馳方法第10章　波形松馳的加速方法第11章　波形松馳方法的一些應用參考文獻

編輯推薦

《波形松弛方法》由科學出版社出版。

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