復(fù)變函數(shù)

前言

　　本書根據(jù)我們?cè)谌A南師范大學(xué)長(zhǎng)期講授復(fù)變函數(shù)課的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，并參考了現(xiàn)有的許多復(fù)變函數(shù)教材編寫而成，　　復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，目前已有了許多復(fù)變函數(shù)教材，它們有著各自的特色和優(yōu)點(diǎn)，由于編者的出發(fā)角度不同，也存在一定的局限性，我們站在省屬師范院校的角度編寫了本書，基本想法如下：　　第一，選取教材內(nèi)容“少而精”，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)性?！　　吧俣笔墙虒W(xué)的基本原則之一，是培養(yǎng)人才的一個(gè)重要手段，講授過(guò)多、過(guò)難的東西只會(huì)適得其反，使學(xué)生越來(lái)越模糊，基于這個(gè)原則，在本書中，我們僅選取了復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域中最重要的基本理論，而略去了一些難度過(guò)大、內(nèi)容過(guò)于專門化的理論，例如，略去了Dirichlet問(wèn)題、特殊函數(shù)、Christoffel多角形映射定理、過(guò)于復(fù)雜的積分計(jì)算、無(wú)窮乘積及部分分式等，因?yàn)檫@些內(nèi)容可通過(guò)專門化的教材來(lái)學(xué)習(xí)，對(duì)Riemann映射定理、解析延拓，我們也僅作了簡(jiǎn)單的介紹，重點(diǎn)強(qiáng)化了本學(xué)科的基本內(nèi)容：解析函數(shù)、Cauchy積分、冪級(jí)數(shù)和Laurent級(jí)數(shù)、留數(shù)、分式線性變換和最大模定理?！　《嘀岛瘮?shù)部分是被普遍認(rèn)為的一個(gè)難點(diǎn)，我們重點(diǎn)介紹了它的產(chǎn)生及處理方法，讓學(xué)生學(xué)其基本部分，而刪除其復(fù)雜部分，例如，第2章刪除了多個(gè)有限支點(diǎn)的問(wèn)題，第5章刪除了多值函數(shù)的積分，如果這些問(wèn)題不刪除，學(xué)生只會(huì)越學(xué)越糊涂，第二，力求可讀、嚴(yán)謹(jǐn)和系統(tǒng)，一本專業(yè)基礎(chǔ)教材要有好的教學(xué)效果，必須具有良好的可讀性和系統(tǒng)性，從數(shù)學(xué)史可以知道，許多概念開(kāi)始出現(xiàn)于一些簡(jiǎn)單的事件，直觀易懂；后來(lái)人們?yōu)榱送晟扑?，給出了一系列嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚?，這些理論是重要的，但也是難懂的，為了將兩者結(jié)合起來(lái)，我們?cè)谝霃?fù)數(shù)時(shí)，開(kāi)始用了常規(guī)的方法，然后用標(biāo)注星號(hào)的部分介紹其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊肜碚?，?duì)冪級(jí)數(shù)部分，在介紹了收斂半徑后，再用標(biāo)注星號(hào)部分介紹產(chǎn)生收斂半徑的本質(zhì)問(wèn)題，　　對(duì)于復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)這些部分，因?yàn)樗鼈兪菑?fù)變函數(shù)理論最基礎(chǔ)、最重要的部分，我們給出了特別詳細(xì)、系統(tǒng)完整的闡述，第三，分層次教學(xué)，華南師范大學(xué)復(fù)變函數(shù)課程的教學(xué)分兩個(gè)層次，即為每周4課時(shí)與3課時(shí)兩個(gè)層次，其他許多省屬師范院校也存在對(duì)這門課程實(shí)施每周4課時(shí)或3課時(shí)的教學(xué)，為了適應(yīng)這兩個(gè)層次的教學(xué)。

內(nèi)容概要

　　《復(fù)變函數(shù)》介紹了復(fù)變函數(shù)的基本概念、基本理論和方法，包括復(fù)數(shù)及復(fù)平面、復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性、復(fù)函數(shù)的積分理論、級(jí)數(shù)理論、留數(shù)理論及其應(yīng)用、保形映射與解析延拓等。《復(fù)變函數(shù)》在內(nèi)容的安排上深入淺出，表達(dá)清楚，系統(tǒng)性和邏輯性強(qiáng)。書中列舉了大量例題來(lái)說(shuō)明復(fù)變函數(shù)的定義、定理及方法，并提供了豐富的習(xí)題，便于教師教學(xué)與學(xué)生自學(xué)。每章末都有小結(jié)，并配有復(fù)習(xí)題。小結(jié)對(duì)該章的主要內(nèi)容作了歸納和總結(jié)，方便學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)?！　　稄?fù)變函數(shù)》可作為高等師范院校數(shù)學(xué)系各專業(yè)學(xué)生的教學(xué)用書，也可供相關(guān)專業(yè)的教師和科技工作者參考。

書籍目錄

第1章 復(fù)數(shù)及復(fù)平面1.1 復(fù)數(shù)及其幾何表示1.1.1 復(fù)數(shù)域與復(fù)數(shù)的公理化定義1.1.2 復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的擴(kuò)充1.1.3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算1.1.4 共軛復(fù)數(shù)1.1.5 復(fù)數(shù)的幾何表示1.1.6 復(fù)數(shù)的三角表示1.1.7 復(fù)球面及無(wú)窮大習(xí)題1.11.2 復(fù)平面的拓?fù)?.2.1 初步概念1.2.2 Jordan曲線習(xí)題1.2小結(jié)復(fù)習(xí)題第2章 復(fù)變函數(shù)2.1 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性2.1.1 復(fù)變函數(shù)的概念2.1.2 復(fù)變函數(shù)的極限2.1.3 復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性習(xí)題2.12.2 解析函數(shù)2.2.1 復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2 解析的概念2.2.3 復(fù)函數(shù)可導(dǎo)與解析的條件習(xí)題2.22.3 初等函數(shù)2.3.1 初等解析函數(shù)2.3.2 初等多值函數(shù)習(xí)題2.3小結(jié)復(fù)習(xí)題第3章 復(fù)變函數(shù)的積分3.1 復(fù)變函數(shù)的積分3.1.1 復(fù)積分的定義與性質(zhì)3.1.2 計(jì)算復(fù)積分的參數(shù)方程法3.1.3 典型例子習(xí)題3.13.2 Cauchy積分定理3.2.1 單連通區(qū)域的Cauchy積分定理3.2.2 Cauchy—Goursat積分定理的證明3.2.3 復(fù)函數(shù)的Newton—1eibniz公式3.2.4 多連通區(qū)域上的Cauchy積分定理3.2.5 典型例題習(xí)題3.23.3 Cauchy積分公式3.3.1 解析函數(shù)的Cauchy積分公式3.3.2 解析函數(shù)的任意階可導(dǎo)性和Morera定理3.3.3 Cauchy不等式和1iouvi11e定理3.3.4 調(diào)和函數(shù)習(xí)題3.3小結(jié)復(fù)習(xí)題第4章 級(jí)數(shù)4.1 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)4.1.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.1.2 復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.1.3 冪級(jí)數(shù)習(xí)題4.14.2 Tay1or展式4.2.1 解析函數(shù)的Tay1or展式4.2.2 解析函數(shù)的零點(diǎn)與唯一性習(xí)題4.24.3 aurent展式4.3.1 解析函數(shù)的Laurent展式4.3.2 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)4.3.3 解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)4.3.4 整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念習(xí)題4.3小結(jié)復(fù)習(xí)題第5章 留數(shù)5.1 留數(shù)定理5.1.1 孤立奇點(diǎn)的留數(shù)5.1.2 留數(shù)的計(jì)算習(xí)題5.15.2 留數(shù)定理的應(yīng)用5.2.1 用留數(shù)定理求積分5.2.2 亞純函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的個(gè)數(shù)5.2.3 輻角原理5.2.4 Rouch~定理及其應(yīng)用習(xí)題5.2小結(jié)復(fù)習(xí)題第6章 保形映射與解析延拓6.1 單葉解析函數(shù)的映射性質(zhì)6.1.1 單葉解析函數(shù)的基本性質(zhì)6.1.2 導(dǎo)數(shù)的幾何意義習(xí)題6.16.2 分式線性變換及其映射性質(zhì)6.2.1 分式線性函數(shù)6.2.2 分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)習(xí)題6.26.3 最大模原理6.3.1 最大模原理6.3.2 Schwarz引理習(xí)題6.36.4 Riemann定理及邊界對(duì)應(yīng)習(xí)題6.46.5 解析延拓6.5.1 解析延拓的概念6.5.2 解析函數(shù)元素6.5.3 對(duì)稱原理6.5.4 用冪級(jí)數(shù)延拓，奇點(diǎn)習(xí)題 6.5小結(jié)復(fù)習(xí)題習(xí)題答案或提示參考文獻(xiàn)索引

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