常微分方程

前言

常微分方程理論研究已經(jīng)有300多年的歷史，它是近代數(shù)學(xué)中的重要分支；同時，由于它與實際問題有著密切的聯(lián)系，因此，它又是近代數(shù)學(xué)中富有生命力的分支之一。對于數(shù)學(xué)，特別是數(shù)學(xué)的應(yīng)用，常微分方程所具有的重大意義主要在于：很多物理與技術(shù)問題可以化歸為常微分方程的求解問題，如自動控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計、彈道的計算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。此外，常微分方程在生態(tài)學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多其他領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。本書是在作者多年教學(xué)實踐和教學(xué)研究的基礎(chǔ)上，吸取國內(nèi)外同類教材的精華編寫而成。全書分為7章，前5章作為基本內(nèi)容，后2章可根據(jù)實際情況靈活選用。根據(jù)常微分方程課程的特點(diǎn)及高等師范院校的培養(yǎng)目標(biāo)，我們在編寫本教材時有以下幾點(diǎn)考慮：1。力圖實現(xiàn)“少而精”的原則，注重數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)、基本方法的訓(xùn)練，盡量從幾何直觀入手，注意概念實質(zhì)的揭示以及近代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)的滲透。本課程中方程類型多、解法各異。我們在內(nèi)容取材上力圖精練，注意分析不同類型方程及其解法的特點(diǎn)。例如，在一階方程的初等積分法中，以變量可分離方程、線性方程、全微分方程為主線；在高階微分方程(組)中，以線性齊次微分方程(組)為主線，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)變換的思路、技巧及各種方法之間的內(nèi)在聯(lián)系。對一階常微分方程的一般理論，我們重點(diǎn)介紹畢卡存在唯一性定理，對定理的條件、結(jié)論與證明方法進(jìn)行較為細(xì)致的分析，注意概念實質(zhì)的揭示、定理證明思路的闡述，以及其中所包含的數(shù)學(xué)思想分析。對常系數(shù)線性齊次微分方程組的求解方法，我們選用矩陣指數(shù)法，基解矩陣的計算采用了較新的普茲方法，既可避免讀者接受這部分知識的困難，又使讀者熟悉向量、矩陣及矩陣指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用。

內(nèi)容概要

本書分為7章： 基本概念，一階方程的初等積分法，一階方程的一般理論，高階微分方程，微分方程組，定性理論與穩(wěn)定性理論初步，差分方程．內(nèi)容取材精練，注重概念實質(zhì)的揭示、定理思路的闡述、應(yīng)用方法的介紹和實際例子的分析，并配合內(nèi)容引入了數(shù)學(xué)軟件．每章配有習(xí)題，全部計算題都有答案，個別證明題有提示。    本書可用作師范院校、理工科大學(xué)的數(shù)學(xué)類各專業(yè)的教科書和部分理工科其他專業(yè)的參考書。

書籍目錄

第1章　基本概念　1.1　微分方程的例子　　習(xí)題1.1　1.2　基本概念　　1.2.1　常微分方程和偏微分方程　　1.2.2　解和通解　　1.2.3　積分曲線和積分曲線族　　習(xí)題1.2第2章　一階方程的初等積分法　2.1　變量可分離方程　　習(xí)題2.1　2.2　齊次方程　　習(xí)題2.2　2.3　一階線性方程　　習(xí)題2.3　2.4　全微分方程　　2.4.1　全微分方程　　2.4.2　積分因子　　習(xí)題2.4　2.5　一階隱方程　　2.5.1　可解出y的方程　　2.5.2　不顯含x的方程　　習(xí)題2.5　2.6　應(yīng)用舉例　　習(xí)題2.6第3章　一階方程的一般理論　3.1　微分方程及其解的幾何解釋　　3.1.1　方向場　　3.1.2　圖像法　　3.1.3　歐拉折線　　習(xí)題3.1　3.2　畢卡存在與唯一性定理　　習(xí)題3.2　3.3　解的延拓　　習(xí)題3.3　3.4　解對初值的連續(xù)性　　習(xí)題3.4　3.5　解對初值的可微性　　習(xí)題3.5　3.6　一階隱方程的奇解　　3.6.1　一階隱方程解的存在與唯一性定理　　3.6.2　p?判別曲線法　　3.6.3　c?判別曲線法　　習(xí)題3.6第4章　高階微分方程　4.1　高階微分方程　　4.1.1　引論　　4.1.2　高階微分方程的降階法　　習(xí)題4.1　4.2　高階線性齊次微分方程　　4.2.1　線性齊次微分方程的一般理論　　4.2.2　常系數(shù)線性齊次微分方程的解法　　4.2.3　某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法　　習(xí)題4.2……第5章　微分方程組第6章　定性理論與穩(wěn)定性理論初步第7章　差分方程附錄A常微分方程發(fā)展概要附錄B答案與提示參考文獻(xiàn)

章節(jié)摘錄

插圖：第1章　基本概念微分方程是含有自變量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，微分方程源于實踐，在實踐中有廣泛而深入的應(yīng)用，在自然科學(xué)和技術(shù)中的許多領(lǐng)域，例如物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、自動控制和電子技術(shù)等，大量的問題都可以用微分方程加以描述，同樣，在社會科學(xué)方面，例如人口學(xué)、生態(tài)學(xué)等。

編輯推薦

《常微分方程》 可用作師范院校、理工科大學(xué)的數(shù)學(xué)類各專業(yè)的教科書和部分理工科其他專業(yè)的參考書。

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