簡明數(shù)學(xué)分析

前言

　　本書是教育部“高等師范教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀(jì)課程教材．　　先說說為什么編寫這本教材．　　江澤民主席在第三次全國教育工作會議上的講話(1999年6月15日)談及人才成長規(guī)律時說過：“學(xué)得好的影響和帶動學(xué)得不太好的，水平高的影響和帶動水平比較低的，這樣就可以促進共同進步與提高．必須堅決克服用‘一個模子’來培養(yǎng)人才的傾向．”目前，我國已經(jīng)有很多相當(dāng)不錯的微積分教材．可是通過多年的教學(xué)實踐，我感到在內(nèi)容上和格調(diào)上，仍然有需要大力改進的地方．一是應(yīng)該用先進的內(nèi)容取代落后的內(nèi)容；二是應(yīng)該把教材寫得內(nèi)容深厚而又精煉簡明．特別是要適于因材施教，應(yīng)能對于培養(yǎng)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)研究人才起較好的作用．這就是編寫這本教材的初衷．　　這本教材在許多方面打破了傳統(tǒng)，或者說有明顯特色．下面簡單地說一說我在哪些方面打破了傳統(tǒng)，有什么道理．　　首先，在第一章中就嚴(yán)格地講授實數(shù)的定義．但不是像多數(shù)課本那樣用費解的Dedekind方法，而是著力把學(xué)生從初中二年級就已經(jīng)知道的“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”這個概念講解清楚．即使部分學(xué)生一時理解不透，以后在學(xué)泛函分析，遇到距離空間的完備化的時候，認(rèn)識必有一大提高．

內(nèi)容概要

　　《簡明數(shù)學(xué)分析》是教育部“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計劃”的研究成果，是面向21世紀(jì)課程教材。全書共分五章,內(nèi)容包括：極限、微分學(xué).積分學(xué).級數(shù).曲線和曲面上的積分.《簡明數(shù)學(xué)分析》內(nèi)容深厚.精練簡明,用先進的內(nèi)容取代了落后的內(nèi)容,例如在微分學(xué)的學(xué)習(xí)中對單變量與多變量進行了同意的論述；在積分學(xué)中用Lebesgue積分取代了Riemann積分，并加入了計算機的練習(xí)?！逗喢鲾?shù)學(xué)分析》適于因材施教，對于培養(yǎng)高素質(zhì)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育和研究人才能起到較好的作用。 《簡明數(shù)學(xué)分析》可作為高等師范院校和綜合大學(xué)數(shù)學(xué)系的教科書。

書籍目錄

第一章 極限。實數(shù)。函數(shù)§1有理數(shù)列的極限習(xí)題1．1§2有理數(shù)的小數(shù)表示習(xí)題1．2§3實數(shù)的定義習(xí)題1．3§4實數(shù)列與實數(shù)集的一些性質(zhì)習(xí)題1．4§5n維Eudid空間R5．1 Eudid空間5．2 緊致性的概念5．3 集所含的元素數(shù)目，R的基數(shù)5．4 R中的開集的結(jié)構(gòu)習(xí)題1．5§6n元函數(shù)6．1 一元函數(shù)6．2 多元函數(shù)6．3 連續(xù)函數(shù)空間C(E)習(xí)題1．6第二章 微分學(xué)§1導(dǎo)數(shù)1．1 方向?qū)?shù)、導(dǎo)數(shù)1．2 一元情形1．2．1 重要的例子1．2．2 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理應(yīng)用1．2．3 一元函數(shù)的求導(dǎo)法則1．2．4 一元函數(shù)的微分中值定理1．2．5 通過導(dǎo)數(shù)求極限的LHospital法則1．3 可導(dǎo)的充分條件及求導(dǎo)算律1．4 高階偏導(dǎo)數(shù)1．5 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線和切平面習(xí)題2．1§2TayIor公式和Taylor展開式2．1 Taylor公式2．2 一元初等函數(shù)的Taylor展開2．3 函數(shù)的局部極值性質(zhì)習(xí)題2．2§3可微變換3．1 基本概念習(xí)題2．3．13．2 可微變換的復(fù)合習(xí)題2．3．23．3 逆變換習(xí)題2．3．3§4隱變換4．1 特殊情形4．2 一般情形習(xí)題2．4§5條件極值習(xí)題2．5§6幾何應(yīng)用6．1 曲線6．2 曲面習(xí)題2．6§7原函數(shù)習(xí)題2．7第三章 積分學(xué)§1測度1．1 外測度1．2 測度1．3 Bord集是可測集1．4 通過開集刻畫可測集習(xí)題3．1§2可測函數(shù)2．1 基本概念2．2 可測函數(shù)的結(jié)構(gòu)習(xí)題3．2§3積分的定義及基本性質(zhì)習(xí)題3．3§4幾乎連續(xù)函數(shù)及其積分習(xí)題3．4§5微積分基本定理5．1 微積分基本定理5．2 換元法5．3 分部法習(xí)題3．5§6積分號下取極限6．1 關(guān)于積分號下取極限的定理6．2 積分號下取極限的定理的應(yīng)用6．2．1 參變積分的一般性質(zhì)6．2．2 具體的例6．3 廣義參變積分的積分號下取極限6．3．1 定理及其應(yīng)用6．3．2 幾個判斷廣義參變積分一致收斂的充分條件習(xí)題3．6§7把多重積分化為累次積分習(xí)題3．7§8一類重要的參變積分一Euler積分習(xí)題3．8§9積分的變量替換9．1 R上的正則變換是可測變換習(xí)題3．9．19．2 線性變換下的積分計算公式習(xí)題3．9．29．3 正則變換下的積分計算公式習(xí)題3．9．39．4 變量替換的實例習(xí)題3．9．4§10函數(shù)空間L(R)習(xí)題3．1 0第四章 級數(shù)§1收斂判別法習(xí)題4．1§2一致收斂習(xí)題4．2§3求和號下取極限習(xí)題4．3§4冪級數(shù)與Taylor展開4．1 一般性討論習(xí)題4．4．14．2 函數(shù)的Taylor展開習(xí)題4．4．2§5三角級數(shù)與Fourier展開5．1 三角級數(shù)5．2 Faurier級數(shù)5．3 F0urier部分和5．4 局部化原理5．5 一致收斂問題5．6 Fejer和習(xí)題4．5§6用代數(shù)多項式一致逼近連續(xù)函數(shù)習(xí)題4．6第五章 曲線和曲面上的積分§1曲線積分1．1 曲線的長度及曲線的自然表示習(xí)題5．1．11．2 曲線上的測度及第一型曲線積分習(xí)題5．1．21．3 第二型曲線積分習(xí)題5．1．3§2曲面積分2．1 曲面上的測度習(xí)題5．2．12．2 第一型曲面積分習(xí)題5．2．22．3 第二型曲面積分習(xí)題5．2．3§3Gteen公式、Grauss公式和stokeS公式3．1 R中的Gvreen公式3．2 (3auss公式習(xí)題5．3．1 -5．3．23．3 R中的stokes公式人名索引符號及名詞索引

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