微分流形初步(第二版)

前言

　　我國數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成一種共識(shí)，應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)幾何學(xué)的教學(xué)。數(shù)學(xué)科學(xué)雖有眾多的分支，卻是有機(jī)的統(tǒng)一。幾何的、代數(shù)的、分析的方法相輔相成，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)成為人類認(rèn)識(shí)世界、改造世界的銳利武器。幾何學(xué)的對(duì)象比較直觀，比較接近人們的生活經(jīng)驗(yàn)，所以更能激發(fā)開創(chuàng)性思維。數(shù)學(xué)歷史上許多劃時(shí)代的新思想，如無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，公理化方法的起源，坐標(biāo)方法的提出，非歐幾何的誕生，空間觀念的演變，對(duì)整體性質(zhì)和行為的關(guān)注，非線性數(shù)學(xué)的興起等等，都首先發(fā)生在幾何學(xué)的沃土上。然而從50年代到70年代我國大學(xué)的幾次教學(xué)改革中，幾何課程曾被一再削弱。當(dāng)時(shí)吳光磊先生就一語雙關(guān)地批評(píng)這種現(xiàn)象為“得意忘形”，歷史的發(fā)展證明他是有遠(yuǎn)見的。今天，數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的大趨勢(shì)是走向綜合，幾何學(xué)的觀點(diǎn)、方法、語言正在大規(guī)模地向其他數(shù)學(xué)分支滲透。而在高新技術(shù)發(fā)展的過程中，幾何學(xué)的原理又得到了空前的應(yīng)用。無論是在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、CT掃描或核磁共振成像、視覺信息處理，還是在機(jī)器人、虛擬現(xiàn)實(shí)、數(shù)字仿真技術(shù)，都廣泛采用了傳統(tǒng)的和現(xiàn)代的幾何學(xué)理論。當(dāng)前，在面向21世紀(jì)的教學(xué)改革中，既要拓寬基礎(chǔ)，又要削減課時(shí)，課程設(shè)置面臨很大的壓力。我們應(yīng)該記取過去走過這段彎路的教訓(xùn)，千萬不要忘記幾何素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的非常重要的方面?！　∥⒎至餍问敲枋鰺o數(shù)自然現(xiàn)象的一種空間形式，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的有代表性的基本觀念。就像歐氏空間與古典分析的關(guān)系一樣，微分流形為當(dāng)代非線性分析的蓬勃發(fā)展提供了舞臺(tái)和語言，它本身就集幾何、代數(shù)、分析于一體。從80年代以來，不少學(xué)校在不同學(xué)科不同層次的專門課程中都要講一點(diǎn)微分流形，從而產(chǎn)生了單獨(dú)設(shè)課的要求。陳維桓教授的《微分流形初步》就是為這樣的需要而寫的教材，經(jīng)過多年教學(xué)實(shí)踐的錘煉已經(jīng)比較成熟。入門的書比專門的書難寫。這本書不是單為研究幾何學(xué)的人，而是為一般的學(xué)數(shù)學(xué)的本科生和研究生寫的，所以它的出版對(duì)加強(qiáng)幾何的教學(xué)會(huì)起很好的作用。希望同學(xué)們一定要在老師的幫助下，在學(xué)習(xí)抽象概念的同時(shí)掌握具體的例子，從簡練的公式背后看出豐富的圖形，邏輯的理解與形象的認(rèn)識(shí)并重。能夠舉一反三，才算真正學(xué)好。

內(nèi)容概要

　　《研究生教學(xué)用書：微分流形初步》是微分流形理論的入門教材，是聯(lián)系經(jīng)典數(shù)學(xué)和當(dāng)代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的橋梁，主要內(nèi)容是介紹微分流形的基本概念和例子、微分流形上的光滑切向量場、光滑張量場、外微分式的運(yùn)算和性質(zhì)，以及黎曼流形、李群、微分纖維叢的初步知識(shí)。全書的敘述深入淺出，平易流暢，重點(diǎn)突出，強(qiáng)調(diào)幾何背景，著重介紹在微分流形上如何通過局部坐標(biāo)系來處理大范圍定義的數(shù)學(xué)對(duì)象。通過《研究生教學(xué)用書：微分流形初步》的學(xué)習(xí)，會(huì)在微分流形的理論和應(yīng)用方面打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，并且為學(xué)習(xí)當(dāng)代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)創(chuàng)造條件。

作者簡介

　　陳維桓，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師。1964年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系，后師從吳光磊先生讀研究生。長期從事子流形微分幾何的研究，包括浸入子流形的積分公式，極小曲面，自共軛極小曲面，線性Weingarten曲面的Backlund變換，以及可積系統(tǒng)在子流形微分幾何中的應(yīng)用。在長期從事微分幾何教學(xué)和研究的基礎(chǔ)上，撰寫和出版了微分幾何類的系統(tǒng)教材，包括本科生和研究生所用的各種教材，如《微分幾何講義》（與陳省身合著），《黎曼幾何選講》（與伍鴻熙合著），《微分幾何初步》，《微分幾何》，《微分流形初步》和《極小曲畫》等，在全國產(chǎn)生了比較廣泛的影響，促進(jìn)了微分幾何教學(xué)的普及。

書籍目錄

第一章 預(yù)備知識(shí)1 n維歐氏空間2 光滑映射3 曲紋坐標(biāo)4 張量5 外代數(shù)習(xí)題一第二章 微分流形1 微分流形的定義2 光滑映射3 切向量和切空間4 子流形5 進(jìn)一步的例子1。Grassmann流形2。環(huán)面Tr和Klein瓶3。一般線性群及其子群4。黎曼曲面5。力學(xué)中的例子6 可定向微分流形和帶邊流形1。流形的定向2。帶邊流形習(xí)題二第三章 切向量場1 切叢2 光滑切向量場3 單參數(shù)變換群4 Frobenius定理5 光滑張量場習(xí)題三第四章 外微分式1 外微分式2 外微分3 Pfair方程組和Frobenius定理4 外微分法在幾何中的應(yīng)用5 外微分式的積分和Stokes定理習(xí)題四第五章 黎曼流形1 切向量場的協(xié)變微分2 黎曼聯(lián)絡(luò)3 曲率張量4 黎曼流形上的若干微分算子習(xí)題五第六章 李群初步1 李群2 結(jié)構(gòu)方程3 李群的同態(tài)和李子群4 伴隨表示5 李氏變換群習(xí)題六第七章 微分纖維叢簡介1 向量叢2 微分纖維叢習(xí)題七附錄1 拓?fù)鋵W(xué)基本概念2 Sard定理習(xí)題提示參考文獻(xiàn)索引

編輯推薦

　　《研究生教學(xué)用書：微分流形初步》可供綜合大學(xué)、高等師范院校數(shù)學(xué)系研究生和高年級(jí)本科生作為“微分流形”課，或“黎曼幾何引論”課，或“近代微分幾何”課的教材，也可供力學(xué)、理論物理等相關(guān)學(xué)科的學(xué)生、教師和研究工作者參考。

圖書封面

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無

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