大學(xué)數(shù)學(xué)

前言

　　提高大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于教師，但一套較好的教材也是重要的。隨著我國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革的逐步深入，當(dāng)前不少高等學(xué)校在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的改革方面有了一些進(jìn)展，例如單純“面向?qū)I(yè)”的觀念有所淡化，代數(shù)課程的內(nèi)容和學(xué)時(shí)有所增加，開設(shè)了一些新的課程，如“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”和“隨機(jī)數(shù)學(xué)”等；相應(yīng)地有一批新教材出版。本套教材也在試用了兩年多以后，進(jìn)行了部分修訂。這就是《大學(xué)數(shù)學(xué)》的第二版。　　在保持原有的指導(dǎo)思想和風(fēng)格的前提下，這一套教材由原來的五本：《一元微積分》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》改編、擴(kuò)充為七本，即：《微積分（一）》、《微積分（二）》、《多元微積分及其應(yīng)用》、《流形上的微積分》、《代數(shù)與幾何》、《隨機(jī)數(shù)學(xué)》及《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》，其中《流形上的微積分》是新編入的。其它幾本修訂的大致情況如下：　　《微積分（一）》以原來的《一元微積分》中的第一篇，即“直觀基礎(chǔ)上的微積分”為其主要內(nèi)容，力求做到“返璞歸真”。除了進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了計(jì)算和應(yīng)用之外，還增加了一些對(duì)“極限”的樸素描述。

內(nèi)容概要

　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》是教育部“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，是高等教育出版社2000年版“大學(xué)數(shù)學(xué)”系列教材的第二版，相當(dāng)于第一版中《一元微積分》的第二篇。內(nèi)容包括：實(shí)數(shù)和極限理論、函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)序列的一致收斂性、定積分和廣義積分、級(jí)數(shù)（冪級(jí)數(shù)和付氏級(jí)數(shù)）的各種收斂性，其中黎曼積分理論以階梯函數(shù)逼近為基礎(chǔ)，融入了函數(shù)空間擴(kuò)張的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)作一個(gè)鋪墊。
　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》著重訓(xùn)練學(xué)生領(lǐng)會(huì)嚴(yán)格證明的必要性以及一此證明的基本技巧，有利于培育學(xué)生理性思維的習(xí)慣；內(nèi)容雖然理論性較強(qiáng)，但有較好的啟發(fā)性，并不顯得枯燥。
　　《大學(xué)數(shù)學(xué)》可作為高等學(xué)校理工科各專業(yè)的教材，也可供其他專業(yè)人員參考。

書籍目錄

第1章　實(shí)數(shù)、實(shí)數(shù)序列及其極限
　1．1實(shí)數(shù)集
　1．2實(shí)數(shù)序列的極限及其基本性質(zhì)
　1．3實(shí)數(shù)集完備性的幾個(gè)等價(jià)命題
　1．4實(shí)數(shù)序列的極限舉例
　習(xí)題1
　補(bǔ)充題
　
第2章　數(shù)值函數(shù)、極限和連續(xù)函數(shù)
　2．1函數(shù)的概念
　2．2函數(shù)極限
　2．2．1函數(shù)極限的定義
　2．2．2函數(shù)極限的一些性質(zhì)
　2．3函數(shù)的連續(xù)性
　2．4函數(shù)列的一致收斂性和階躍函數(shù)
　2．4．1函數(shù)列及其一致收斂性
　2．4．2階躍函數(shù)
　習(xí)題2
　補(bǔ)充題
　
第3章　定積分
　3．1階梯函數(shù)的積分
　3．2Riemann積分(定積分)
　習(xí)題3
　
第4章　廣義積分
　4．1無窮區(qū)間上的廣義積分
　4．1．1無窮區(qū)間上廣義積分的定義
　4．1．2非負(fù)函數(shù)無窮限積分的判斂準(zhǔn)則
　4．1．3絕對(duì)收斂和條件收斂
　4．2無界函數(shù)的廣義積分
　4．3Euler積分(r函數(shù)與B函數(shù))
　習(xí)題4
　補(bǔ)充題
　
第5章　無窮級(jí)數(shù)
　5．1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法則
　5．1．1基本概念
　5．1．2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)
　5．1．3非負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的判斂法則
　5．1．4任意項(xiàng)級(jí)數(shù)
　5．2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性
　5．3冪級(jí)數(shù)和Taylor(泰勒)級(jí)數(shù)
　5．3．1冪級(jí)數(shù)的收斂域及其一致收斂性
　5．3．2冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
　5．3．3函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)的問題——Taylor級(jí)數(shù)
　5．3．4函數(shù)展成Taylor級(jí)數(shù)的方法
　習(xí)題5
　補(bǔ)充題
　
第6章　Fourier(傅里葉)級(jí)數(shù)
　6．1三角函數(shù)系的正交性與三角級(jí)數(shù)的系數(shù)
　6．2函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)
　6．3其它形式的Fourier級(jí)數(shù)
　6．3．1以T為周期的函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)
　6．3．2奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)一奇延拓與偶延拓
　6．3．3復(fù)數(shù)形式的Fourier級(jí)數(shù)
　6．4平均收斂
　習(xí)題6
附錄　積分簡(jiǎn)表
部分習(xí)題參考答案
名詞索引
　　

章節(jié)摘錄

版權(quán)頁：插圖：1.1 實(shí)數(shù)集17世紀(jì)微積分發(fā)明后，很快在力學(xué)、物理和幾何中得到廣泛的應(yīng)用，在這個(gè)過程中人們卻發(fā)現(xiàn)它的基礎(chǔ)不牢固：例如“無窮小”、“極限”等概念就很不清楚，因而受到一些人的懷疑甚至攻擊，為了把微積分建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的理性基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了近兩個(gè)世紀(jì)的探索，1821年，Cauchy給出了極限的一個(gè)比較清晰的定義，但直到1850年，Weierstrass才最終給出了現(xiàn)在還通用的極限的嚴(yán)格定義，即極限的e-8語言式定義，在本章將簡(jiǎn)要地闡述為把微積分建立在堅(jiān)實(shí)的理性基礎(chǔ)上而集中面臨的問題，以及為解決這個(gè)問題而建立起的主要成果。通過對(duì)極限、導(dǎo)數(shù)和積分等微積分的基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們已知微積分的理論是建立在極限的基礎(chǔ)之上的一門實(shí)函數(shù)理論，因此要在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理性下建立起微積分，就要弄清楚實(shí)數(shù)集在極限意義下的結(jié)構(gòu)，讓我們把這一點(diǎn)看得更清楚一些，我們對(duì)極限已有了直觀的認(rèn)識(shí)，或者說我們已知極限大致說的是什么，就是一個(gè)趨向的目標(biāo)加上一個(gè)趨向的動(dòng)態(tài)方式，然而這個(gè)直觀的但又非常重要的認(rèn)識(shí)是在忽略了一些基本的重要事實(shí)上完成的，我們忽略的基本事實(shí)來自于對(duì)實(shí)數(shù)集的結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，給定一個(gè)實(shí)數(shù)列有趨向的目標(biāo)，那么這個(gè)目標(biāo)一定是個(gè)實(shí)數(shù)嗎？讓我們用直觀的方法把這話說得更清楚些，我們把給定的這個(gè)實(shí)數(shù)列中的每個(gè)元素在一條直線軸上標(biāo)記出來，那么在該條直線軸上就對(duì)應(yīng)出一個(gè)點(diǎn)列，這個(gè)點(diǎn)列向一個(gè)確定點(diǎn)趨近的話，問這個(gè)被趨近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)嗎？這個(gè)問題是非常重要的，設(shè)想一下，我們學(xué)了導(dǎo)數(shù)就是變化率，而作為平均變化率的極限的變化率可能不是實(shí)數(shù)，或者從幾何上講，割線的極限切線的斜率可能不是實(shí)數(shù)，那么會(huì)怎樣呢？

編輯推薦

《大學(xué)數(shù)學(xué):微積分2(第2版)》是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材之一。

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