常微分方程

前言

　　常微分方程是伴隨著微積分的產(chǎn)生和發(fā)展而成長(zhǎng)起來(lái)的一門(mén)歷史悠久的學(xué)科，從誕生之日起很快就顯示出它在應(yīng)用上的重要作用，特別是作為牛頓力學(xué)的得力助手，在天體力學(xué)和其它力學(xué)領(lǐng)域顯示出巨大的功能，牛頓通過(guò)解微分方程證實(shí)了地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)橢圓，海王星的存在是天文學(xué)家先通過(guò)微分方程的方法推算出來(lái)，然后才實(shí)際觀測(cè)到的，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步，常微分方程的應(yīng)用不斷擴(kuò)大和深入，時(shí)至今日，可以說(shuō)常微分方程在所有自然科學(xué)領(lǐng)域和眾多的社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的許多分支中，常微分方程是經(jīng)常要用到的重要工具之一，常微分方程每一步進(jìn)展都離不開(kāi)其它數(shù)學(xué)分支的支援；反過(guò)來(lái)，常微分方程進(jìn)一步發(fā)展的需要，又推動(dòng)著其它數(shù)學(xué)分支的發(fā)展，這一古老的學(xué)科，由于應(yīng)用領(lǐng)域的不斷擴(kuò)大和新理論生長(zhǎng)點(diǎn)的不斷涌現(xiàn)，它的發(fā)展至今仍充滿著生機(jī)和活力?！　〕Ｎ⒎址匠淌菙?shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課，一般安排在數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)已學(xué)完的第二學(xué)年下學(xué)期，是整個(gè)課程體系中的一個(gè)重要的組成部分，它的教學(xué)目的是使學(xué)生掌握本門(mén)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)，接受本門(mén)學(xué)科特有的基本訓(xùn)練，作為數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)的后續(xù)課，它對(duì)于訓(xùn)練如何運(yùn)用已學(xué)知識(shí)分析和解決進(jìn)一步的數(shù)學(xué)問(wèn)題有著特殊的作用?！　≡缒晖跞釕押臀樽咳涸幹冻Ｎ⒎址匠讨v義》一書(shū)（以下簡(jiǎn)稱《講義》），作為全國(guó)通用教材，由人民教育出版社出版．經(jīng)多次印刷后，人民教育出版社曾建議修改后再版。由于作者感到對(duì)如何進(jìn)行修改沒(méi)有更多新的想法，又忙碌于其它事務(wù)，未能及時(shí)修訂，后來(lái)他們的同事周欽德和李勇，在使用該書(shū)進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，積累了大量經(jīng)驗(yàn)，對(duì)教材的修改進(jìn)行了許多思考，在此基礎(chǔ)上重新編寫(xiě)了一本同名教材，由吉林大學(xué)出版社出版。這部教材在吉林大學(xué)使用多年，取得了良好的教學(xué)效果．該教材繼承了原《講義》的體系和基本框架，但對(duì)部分內(nèi)容進(jìn)行了增刪，有的章節(jié)改動(dòng)的幅度還比較大?，F(xiàn)在要出版的這本同名書(shū)就是由上述兩部講義經(jīng)全面修改，反復(fù)加工而成的?！　”緯?shū)仍沿襲原《講義》的體系和基本框架，按照從易到難，從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，先講線性方程的理論，然后再講非線性方程的一般理論．幾十年來(lái)我們的實(shí)踐表明，這樣的體系和基本框架從教學(xué)上看，是自然的和合理的。在幾次的改編中，特別是這次的改編中，為使之更趨完善，我們又作出了進(jìn)一步的努力。

內(nèi)容概要

　　《普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材：常微分方程》是普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材。全書(shū)分為六章，各章內(nèi)容分別為：初等積分法，線性方程，常系數(shù)線性方程，一般理論，定性理論，一階偏微分方程等。在各章節(jié)之后都配備了一定數(shù)量的習(xí)題?！　　镀胀ǜ叩冉逃?ldquo;十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材：常微分方程》可作為高等學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科各專業(yè)常微分方程課程的教材，也可供其它理科專業(yè)選用。對(duì)于其他希望了解常微分方程這門(mén)學(xué)科的讀者，它也可作為一本入門(mén)的參考書(shū)。

作者簡(jiǎn)介

伍卓群，數(shù)學(xué)教授，國(guó)家級(jí)有突出貢獻(xiàn)的專家、博士導(dǎo)師。歷任吉林大學(xué)講師、教授、副校長(zhǎng)、校長(zhǎng)、研究生院院長(zhǎng)，國(guó)務(wù)院學(xué)位委員會(huì)第二屆學(xué)科評(píng)議組成員，中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)第四屆常務(wù)理事。從事微分方程的教學(xué)和研究。與王柔懷合編《常微分方程講義》。
李勇，數(shù)學(xué)教授，博士導(dǎo)師?，F(xiàn)為吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院院長(zhǎng)。中國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì)常務(wù)理事，吉林省運(yùn)籌學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，吉林省工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)理事長(zhǎng)，吉林省政協(xié)委員，教育部數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)委員，國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)第十屆數(shù)理科學(xué)部專家評(píng)審組成員。長(zhǎng)期從事非線性系統(tǒng)的理論及其應(yīng)用方面的研究，在國(guó)內(nèi)外有影響學(xué)術(shù)刊物發(fā)表學(xué)術(shù)論文60余篇。并于2006年榮獲第二屆“高等學(xué)校教學(xué)名師”稱號(hào)。

書(shū)籍目錄

第一章 初等積分法§1 例子與概念§2 典型方程的解法2．1 變量可分離方程2．2 齊次方程2．3 可化為齊次方程的方程2．4 一階線性方程2．5 伯努利方程2．6 恰當(dāng)方程§3 解題的靈活性3．1 引進(jìn)適當(dāng)變換3．2 交換x與y的地位3．3 改變方程形式3．4 尋找積分因子§4 一階隱方程，高階方程與里卡蒂方程4．1 一階隱方程4．2 高階方程的幾種可積類型4．3 里卡蒂方程第二章 線性方程§l 引言§2 解的存在性與唯一性§3 （LH）的通解的結(jié)構(gòu)§4 （NH）的通解的結(jié)構(gòu)§5 邊值問(wèn)題和周期解§6 高階線性方程6．1 通解的結(jié)構(gòu)6．2 邊值問(wèn)題和周期解§7 線性微分方程的一些求解方法7．1 適當(dāng)?shù)淖儞Q7．2 冪級(jí)數(shù)解法§8 線性方程的復(fù)值解第三章 常系數(shù)線性方程§1 常系數(shù)齊次線性方程的解法§2 常系數(shù)齊次線性方程組的解法2．1 矩陣指數(shù)函數(shù)2．2 基本解矩陣的結(jié)構(gòu)2．3 待定系數(shù)法§3 算子解法與拉氏變換法3．1 算子解法3．2 拉氏變換法第四章 一般理論§1 引言§2 皮卡存在與唯一性定理2．1 皮卡定理2．2 唯一性條件的推廣2．3 解的整體唯一性2．4不唯一的情形，奇解§3 佩亞諾存在定理3．1 歐拉折線3．2 阿爾采拉一阿斯科利引理3．3 佩亞諾定理的證明§4 柯西存在與唯一性定理4．1 優(yōu)級(jí)數(shù)與優(yōu)函數(shù)4．2 柯西定理及其證明§5 解的延展與解的整體存在性5．1 解的延展5．2 解的整體存在性§6 解對(duì)初值與參數(shù)的連續(xù)性§7 解對(duì)初值與參數(shù)的可微性§8 對(duì)于n階方程的推論§9 解非線性方程的連續(xù)性方法9．1 古典牛頓法9．2 一般的連續(xù)性方法第五章 定性理論§1 解的穩(wěn)定性1．1 李雅普諾夫穩(wěn)定性1．2 按第一近似決定穩(wěn)定性1．3 李雅普諾夫第二方法§2 一般定性理論的概念2．1 相空間，軌線，動(dòng)力系統(tǒng)2．2 奇點(diǎn)，閉軌，極限集§3 平面動(dòng)力系統(tǒng)3．1 奇點(diǎn)3．2 極限環(huán)§4 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，分支與渾沌4．1 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與分支現(xiàn)象4．2 動(dòng)力系統(tǒng)的渾沌§5 首次積分§6 守恒系統(tǒng)第六章 一階偏微分方程§1 引言§2 一階齊次線性偏微分方程§3 一階擬線性偏微分方程§4 廣義解的概念參考文獻(xiàn)索引

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