擬微分算子和Nash-Moser定理

前言

隨著解析幾何及微積分的發(fā)明而興起的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在其發(fā)展過程中，一批卓越的法國(guó)數(shù)學(xué)家發(fā)揮了杰出的作用，作出了奠基性的貢獻(xiàn).他們像燦爛的星斗發(fā)射著耀眼的光輝，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上占據(jù)著不可替代的地位，在大學(xué)教科書、各種專著及種種數(shù)學(xué)史著作中都頻繁地出現(xiàn)著他們的英名，在他們當(dāng)中，包括笛卡兒、費(fèi)馬、帕斯卡、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯、勒讓德、傅里葉、泊松、柯西、劉維爾、伽羅華、龐加萊、嘉當(dāng)、勒貝格、魏伊、勒雷、施瓦茲及利翁斯等等這些耳熟能詳?shù)拿?，也包括一些現(xiàn)今仍然健在并繼續(xù)作出重要貢獻(xiàn)的著名數(shù)學(xué)家，由于他們的出色成就和深遠(yuǎn)影響，法國(guó)的數(shù)學(xué)不僅具有深厚的根基和領(lǐng)先的水平，而且具有優(yōu)秀的傳統(tǒng)和獨(dú)特的風(fēng)格，一直在國(guó)際數(shù)學(xué)界享有盛譽(yù)。我國(guó)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，在20世紀(jì)初通過學(xué)習(xí)西方及日本才開始起步，并在艱難曲折中發(fā)展與成長(zhǎng)，終能在2002年成功地在北京舉辦了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，在一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間中基本上跟上了西方歷經(jīng)四個(gè)多世紀(jì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的步伐，實(shí)現(xiàn)了跨越式的發(fā)展，這一巨大的成功，根源于好幾代數(shù)學(xué)家持續(xù)不斷的艱苦奮斗，根源于我們國(guó)家綜合國(guó)力不斷提高所提供的有力支撐，根源于改革開放國(guó)策所帶來的強(qiáng)大推動(dòng)，也根源于很多國(guó)際數(shù)學(xué)界同仁的長(zhǎng)期鼓勵(lì)、支持與幫助，在這當(dāng)中，法蘭西數(shù)學(xué)精品長(zhǎng)期以來對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)界所起的積極影響，法蘭西數(shù)學(xué)的深厚根基、無比活力和優(yōu)秀傳統(tǒng)對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)家所起的不可低估的潛移默化作用，無疑也是一個(gè)不容忽視的因素.足以證明這一點(diǎn)的是：在我國(guó)的數(shù)學(xué)家中，有不少就曾經(jīng)留學(xué)法國(guó)，直接受到法國(guó)數(shù)學(xué)家的栽培和法蘭西數(shù)學(xué)傳統(tǒng)和風(fēng)格的薰陶與感召，而更多的人也或多或少地通過汲取法國(guó)數(shù)學(xué)精品的營(yíng)養(yǎng)而逐步走向了自己的成熟與輝煌。

內(nèi)容概要

擬微分算子理論是20世紀(jì)50年代開始發(fā)展的一套分析工具，在偏微分方程和微分幾何等領(lǐng)域的許多問題的研究中都有著廣泛應(yīng)用。本書以精練的篇幅在第一章中講述了這一理論的核心內(nèi)容。    Nash-Moser定理是20世紀(jì)50年代末、60年代初的一個(gè)重要數(shù)學(xué)成果，直到今天，它仍然在微分幾何、動(dòng)力系統(tǒng)和非線性偏微分方程中有著重要的地位。它是本書第三章的論題。    這兩套理論在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中基本上都是分開單獨(dú)處理的，而本書則在介紹這兩個(gè)各自本身都有著非常重要意義的理論的同時(shí)，還闡明了它們是如何關(guān)聯(lián)在一起的。通過大量的例子和習(xí)題，作者們給出了幾乎所有結(jié)論的簡(jiǎn)潔而完整的證明。通過循序漸進(jìn)地引進(jìn)微局部分析、Littlewood-Paley理論、二進(jìn)分析、仿微分算子及其在插值不等式中的應(yīng)用、雙曲方程（組）的能量不等式、隱函數(shù)定理等內(nèi)容，作者們建立了上述兩套理論之間的一座清晰的橋梁。    本書可作為高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)的研究生學(xué)習(xí)非線性偏微分方程或幾何學(xué)的教學(xué)用書，也可供對(duì)微局部分析、偏微分方程以及幾何學(xué)感興趣的數(shù)學(xué)工作者使用參考。    本書對(duì)于有志打好分析基礎(chǔ)的研究生來說是一本非常有價(jià)值的教學(xué)用書。對(duì)于從事分析或者幾何方面研究的數(shù)學(xué)工作者來說，本書也是了解另一個(gè)領(lǐng)域的快速有效的途徑。

作者簡(jiǎn)介

作者：(法國(guó))S.阿里納克 (法國(guó))P.熱拉爾 譯者：姚一雋 叢書主編：李大潛

書籍目錄

《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》編委會(huì)《法蘭西數(shù)學(xué)精品譯叢》序中文版序言前言0 記號(hào)和分布論的復(fù)習(xí)  0.1 可微函數(shù)空間和微分算子  0.2 Rn中一個(gè)開集上的分布  0.3 卷積  0.4 核函數(shù)  0.5 Rn上的Fourier分析Ⅰ 擬微分算子  Ⅰ.1 導(dǎo)論    Ⅰ.1.1 FourⅠer變換的運(yùn)用    Ⅰ.1.2 變系數(shù)算子    Ⅰ.1.3 調(diào)和兩個(gè)方面（坐標(biāo)空間x和相位空間ξ）  Ⅰ.2 象征    Ⅰ.2.1 定義和例子    Ⅰ.2.2 象征的逼近  Ⅰ.2 象征    Ⅰ.2.1 定義和例子    Ⅰ.2.2 象征的逼近    Ⅰ.2.3 漸近和式，S與S’中的古典擬微分象征  Ⅰ.3 S和S'中的擬微分算子    Ⅰ.3.1 S上的作用    Ⅰ.3.2 算子的核函數(shù)與共軛  Ⅰ.4 算子的復(fù)合  Ⅰ.5 擬微分算子的作用與Sobolev空間    Ⅰ.5.1 L2上的作用    Ⅰ.5.2 在Sobolev空間上的作用    Ⅰ.5.3 （弱形式的）Garding不等式    Ⅰ.5.4 橢圓算子的逆  Ⅰ.6 Rn中開集上的算子    Ⅰ.6.1 擬局部性質(zhì)    Ⅰ.6.2 局部象征與開集上的算子    Ⅰ.6.3 恰當(dāng)支撐算子  Ⅰ.7 流形上的算子    Ⅰ.7.1 擬微分算子和坐標(biāo)變換    Ⅰ.7.2 主象征和切叢  Ⅰ.8 附錄    Ⅰ.8.1 振蕩積分    Ⅰ.8.2 象征演算定理的證明    Ⅰ.8.3 擬微分算子在振蕩函數(shù)上的作用  第Ⅰ章補(bǔ)注  第Ⅰ章習(xí)題Ⅱ 非線性二進(jìn)分析微局部分析能量估計(jì)  Ⅱ.A 非線性二進(jìn)分析    Ⅱ.A.1 Littlewood-Paley分解：一般性質(zhì)    Ⅱ.A.2 在函數(shù)的乘積與復(fù)合上的應(yīng)用  Ⅱ.B 微局部分析：波前集與擬微分算子    Ⅱ.B.1 分布的波前集    Ⅱ.B.2 線性算子和波前集  Ⅱ.C 能量估計(jì)    Ⅱ.C.1 一階算子    Ⅱ.C.2 m階算子  第Ⅱ章注記  第Ⅱ章習(xí)題Ⅲ 隱函數(shù)定理  Ⅲ.A 隱函數(shù)定理和橢圓問題    Ⅲ.A.1 Banach空間上隱函數(shù)定理的回顧    Ⅲ.A.2 非線性微分方程的例子  Ⅲ.B 應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)方法的兩個(gè)例子    Ⅲ.B.1 一個(gè)流體力學(xué)的例子    Ⅲ.B.2 等距嵌入問題  Ⅲ.C Nash-Moser定理    Ⅲ.C.1 簡(jiǎn)介    Ⅲ.C.2 兩個(gè)經(jīng)典的例子    Ⅲ.C.3 柔性估計(jì)    Ⅲ.C.4 Nash-Moser定理  第Ⅲ章注記  第Ⅲ章習(xí)題參考文獻(xiàn)主要記號(hào)名詞索引譯校后記

章節(jié)摘錄

插圖：

后記

翻譯這本書前后總共歷時(shí)五年，倒不是實(shí)實(shí)在在地干了五年，只是從開始翻譯第一筆算起到最后完稿，前后斷斷續(xù)續(xù)差不多用了五年的時(shí)間。2006年夏，校者在馬德里國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上向高等教育出版社的編輯人員建議翻譯出版本書，而譯者既然早有這份心思，等到07年1月博士畢業(yè)以后就開始全面開展這項(xiàng)工作。兩位作者都是偏微分方程的專家S.Alihnac年長(zhǎng)一些，不過譯校者接觸比較多的是P. Gerard，巴黎第十一大學(xué)教授，2006年ICM報(bào)告人，他更為有意思的身份是Bourbaki學(xué)派目前的成員之一，2000年末，譯者聽他給研究生開基礎(chǔ)課“發(fā)展方程”，講到Strichalrz不等式，只聽他輕描淡寫地說了一句：“上個(gè)月我們剛剛把這個(gè)結(jié)果改進(jìn)了一下，具體地說，是……”一時(shí)間譯者突然有一種感慨，但愿有一天，中國(guó)的學(xué)生不用遠(yuǎn)赴重洋，也能夠聽到這樣的課程。本書的譯校者都不算是做偏微分方程的，但我們都覺得這本書寫得很好也很有用，這大約可以作為本書對(duì)于不專門從事這一領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工作者也很有用處的一個(gè)例證。我們覺得本書給了我們一個(gè)十分直接的辦法來領(lǐng)會(huì)擬微分算子的基本精要，它直奔主題，例如在L5節(jié)讀者可以立即懂得橢圓算子為什么如此基本，因?yàn)樗谀５粢粋€(gè)光滑算子之后是可逆算子，相當(dāng)于可逆矩陣在矩陣論中的地位！又如在第Ⅲ章中，讀者可以體會(huì)到如何將本書中剛學(xué)會(huì)的技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，例如等距嵌入及環(huán)面上的動(dòng)力系統(tǒng)，最后本書由大量有意思的習(xí)題，在法國(guó)，任何層次的數(shù)學(xué)課，教師一般總會(huì)給出不少有意思的習(xí)題幫助學(xué)生掌握所學(xué)的知識(shí)，同時(shí)讓學(xué)生明白其實(shí)自己只要花一點(diǎn)力氣就可以推出有意思的結(jié)論，這也許是法國(guó)數(shù)學(xué)水平高的一個(gè)原因吧！

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《擬微分算子和Nash-Moser定理》由高等教育出版社出版。

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