千年難題

內(nèi)容概要

《千年難題(七個(gè)懸賞1000000美元的數(shù)學(xué)問題)》由基思·德夫林著，沈崇圣譯。2000年，美國(guó)馬薩諸塞州劍橋的克萊基金會(huì)發(fā)起了一場(chǎng)頗具歷史意義的競(jìng)賽：任何能夠解決七大數(shù)學(xué)難題之一的人，在專家認(rèn)定其解答正確之后，都可以獲得100萬美元的獎(jiǎng)金。之前也有過這樣的先例：1900年，當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家之一希爾伯特(David
Hilbert)提出了23個(gè)問題(現(xiàn)被稱作希爾伯特問題)，在很大程度上為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)設(shè)定了議程。千年難題很可能獲得同樣的地位。對(duì)它們的解答(或者解答不出)將對(duì)21世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究起到巨大的影響。這些問題涉及純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中大多數(shù)最迷人的領(lǐng)域：從拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)論到粒子物理學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算理論甚至飛機(jī)設(shè)計(jì)。著名的數(shù)學(xué)闡釋者德夫林在《千年難題(七個(gè)懸賞1000000美元的數(shù)學(xué)問題)》中向我們講了這七大難題的內(nèi)容、由來以及它們對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)的意義。

作者簡(jiǎn)介

基思·德夫林（Keith
Devlin，1947—）是美國(guó)加利福尼亞州莫拉加市圣瑪麗學(xué)院科學(xué)系主任，斯坦福大學(xué)語(yǔ)言與信息研究中心高級(jí)研究員，美國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)教育委員會(huì)委員，世界經(jīng)濟(jì)論壇成員，美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)成員，美國(guó)全國(guó)公共電臺(tái)數(shù)學(xué)普及節(jié)目主持人。他是22本書的作者，其中包括《數(shù)字化的生命》（Life
by the Numbe）、《數(shù)學(xué)：模式的科學(xué)》（Mathematics：The Science of
Patter）與《千年難題》（The Millennium Problems）等。

書籍目錄

對(duì)本書的評(píng)價(jià)
內(nèi)容提要
作者簡(jiǎn)介
序言
第零章 挑戰(zhàn)已經(jīng)發(fā)出
第一章 素?cái)?shù)的音樂：黎曼假設(shè)
第二章 構(gòu)成我們的是場(chǎng)：楊-米爾斯理論和質(zhì)量缺口假設(shè)
第三章 當(dāng)計(jì)算機(jī)無能為力的時(shí)候：P對(duì)NP問題
第四章 制造波動(dòng)：納維-斯托克斯方程
第五章 關(guān)于光滑行為的數(shù)學(xué)：龐加萊猜想
第六章 解不出方程也明白：伯奇和斯溫納頓-戴爾猜想
第七章 沒有圖形的幾何學(xué)：霍奇猜想
進(jìn)一步的讀物

章節(jié)摘錄

　　第零章 挑戰(zhàn)已經(jīng)發(fā)出 求知欲是人類的本性之一。遺憾的是，已確立的各種宗教不 再提供令人滿意的答案，這就轉(zhuǎn)變成對(duì)確定性和真理的一種需求。這就是數(shù)學(xué)為什么而運(yùn)作，為什么人們?yōu)橹瞰I(xiàn)終身。它是對(duì)真 理的渴望，是對(duì)驅(qū)動(dòng)著數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)之美妙和優(yōu)雅的回應(yīng)。——克萊（Landon Clay），克萊千年難題的贊助人 2000年5月24日，在巴黎法蘭西學(xué)院（College de France）的演講 大廳，世界著名的英國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士和美國(guó)數(shù)學(xué) 家泰特（John Tate）宣布，對(duì)首先解決七個(gè)最困難的懸而未決的數(shù)學(xué)問 題中任何一個(gè)的人或團(tuán)體將授予100萬美元的獎(jiǎng)金。他們說，這些問 題從此將被稱為“千年難題”（Millennium Problems）。這700萬美元的獎(jiǎng)金——每個(gè)問題100萬美元，解答在時(shí)間上沒 有限制——是由一位富有的美國(guó)共同基金投資公司巨頭和業(yè)余數(shù)學(xué)愛 好者克萊捐贈(zèng)的。一年前，克萊就建立了克萊數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)（Clay Mathematics I titute，簡(jiǎn)稱CMI），這是設(shè)在他的家鄉(xiāng)馬薩諸塞州劍橋 的一個(gè)非營(yíng)利性組織，旨在促進(jìn)和支持?jǐn)?shù)學(xué)研究。CMI組織了巴黎會(huì) 議，并將掌管千年大獎(jiǎng)的角逐。這七大難題是由一個(gè)國(guó)際知名數(shù)學(xué)家小組經(jīng)過數(shù)月選出的。這個(gè) 小組由克萊促進(jìn)會(huì)首任會(huì)長(zhǎng)賈菲（Arthur’Jaffe）博士領(lǐng)導(dǎo)，其成員由 CMI的科學(xué)顧問委員會(huì)選定。賈菲曾任美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，現(xiàn)在是哈 佛大學(xué)的克萊數(shù)學(xué)教授。選題委員會(huì)一致認(rèn)為選出的這七大難題是當(dāng) 代數(shù)學(xué)中最重要的未解決問題。對(duì)此大多數(shù)數(shù)學(xué)家都會(huì)贊同。這些問 題位于數(shù)學(xué)主要領(lǐng)域的中心，全世界許多最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家曾試圖解決 它們，但都無功而返。擬訂這個(gè)問題表的專家之一是懷爾斯（Andrew Wiles）爵士，費(fèi)馬 大定理這個(gè)有330年歷史的難題沒被選人的唯一理由顯然是因?yàn)榱?前已被他解決了。其他的專家，除了賈菲之外，還有阿蒂亞和在巴黎作 了演講的泰特，以及法國(guó)的孔涅（Alain Connes）和美國(guó)的威滕（Edward Witten）。很奇怪，克萊本人不是數(shù)學(xué)家。作為哈佛大學(xué)的本科生，他主修的 是英文。然而他在其母校資助設(shè)立了一個(gè)數(shù)學(xué)教席，接著創(chuàng)辦了克萊 數(shù)學(xué)促進(jìn)會(huì)（目前他的捐贈(zèng)達(dá)到9000萬美元）和現(xiàn)在的千年大獎(jiǎng)。他 說之所以有這些創(chuàng)舉，部分是因?yàn)樗吹揭粋€(gè)如此重要的學(xué)科，從公眾 得到的資助卻如此之少。通過提供一大筆獎(jiǎng)金并邀請(qǐng)世界新聞界參加 宣布解題競(jìng)賽開始的會(huì)議，克萊確保這些千年難題——乃至整個(gè)數(shù) 學(xué)——會(huì)引起國(guó)際媒體的注意。但是為什么要到巴黎開會(huì)？答案是歷史。正是在100年前的1900年，巴黎是一次類似事件的 發(fā)生地。起因是第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)。8月8日，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾 伯特（David Hillbert）——數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一位國(guó)際領(lǐng)袖，應(yīng)邀發(fā)表演講，他在演講中提出了一個(gè)20世紀(jì)數(shù)學(xué)的議程表。希爾伯特列舉了他判 定為數(shù)學(xué)中意義最重大的23個(gè)未解決難題。它們隨后被稱為“希爾伯 特問題”，是指引數(shù)學(xué)家邁向未來的燈塔。希爾伯特陳述的問題中有少數(shù)幾個(gè)比他預(yù)料的要容易，不久就被 解決了。還有幾個(gè)問題太不準(zhǔn)確而不能得到一個(gè)確定的答案。但是絕 大多數(shù)問題確實(shí)是十分困難的數(shù)學(xué)問題，這些“真正的”希爾伯特問題 中的任一個(gè)能得到解答將立即使解答者在數(shù)學(xué)界聲譽(yù)鵲起，完全就像 獲得諾貝爾獎(jiǎng)一樣意義重大。而且還有這樣的好處：這些獲得成功的 數(shù)學(xué)家能立刻享有他們（所有的解答者都是男性）成功帶來的好處，而 不必等待數(shù)年之久——在數(shù)學(xué)界確認(rèn)解答正確之時(shí)，榮譽(yù)同時(shí)到達(dá)。到2000年，所有真正的希爾伯特問題除了一個(gè)之外都已被解決，這 正是數(shù)學(xué)家再一次總結(jié)的適宜時(shí)間。哪些是第二個(gè)千年結(jié)束之時(shí)最有 價(jià)值的問題？哪些未解決問題是每個(gè)人都認(rèn)為的數(shù)學(xué)之珠穆朗瑪峰？巴黎會(huì)議部分地是對(duì)創(chuàng)造歷史的一種嘗試，但并非完全是。正如 懷爾斯指出的，在擬訂千年難題表時(shí)CMI的目的與希爾伯特并不完全 相同?！跋柌卦噲D用他的問題引導(dǎo)數(shù)學(xué)的發(fā)展，”懷爾斯說，“我們 則試圖記載重大的未解決難題。在數(shù)學(xué)中有著一些大問題，它們很重 要，但很難從中孤立出單獨(dú)的問題來在這張列表中占有一席之地?！睋Q 句話說，千年難題不可能向你提供關(guān)于數(shù)學(xué)走向的思想。但是它們十 分精彩地簡(jiǎn)述了現(xiàn)今的前沿在何處。七大難題 那么千年難題是些什么問題？當(dāng)今數(shù)學(xué)的狀態(tài)使得它們沒有一個(gè) 能在缺乏相當(dāng)多背景知識(shí)的情況下被正確地描述出來。這就是為什么 你是在閱讀一本書而不是一篇文章。但現(xiàn)在我至少能為你提供它們的 名稱，并讓你對(duì)它們有個(gè)初步印象。黎曼假設(shè)這是1900年希爾伯特列出的問題中唯一一個(gè)至今還 未解決的問題。全世界的數(shù)學(xué)家都認(rèn)為這個(gè)關(guān)于一特定方程之可能解 的看上去晦澀難懂的問題，是數(shù)學(xué)中意義最重大的未解決難題。1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（Bernhard。Riemann）試圖回答數(shù)學(xué)中最 古老的問題之一：如果素?cái)?shù)在全體計(jì)數(shù)數(shù)中的分布具有一定的模式，那么這個(gè)模式是什么？在這個(gè)過程中，他提出了這個(gè)假設(shè)。大約公元 前350年，著名的希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）證明了素?cái)?shù)是無窮盡 的，即存在無窮多個(gè)素?cái)?shù)。此外，由觀察可知，當(dāng)你向大整數(shù)方向行進(jìn) 時(shí)，素?cái)?shù)好像越來越“稀疏”、越來越少見了。但是你能說得比這更多些 嗎？正如我們將在第一章中看到的，答案是肯定的。黎曼假設(shè)的證明 將加深我們對(duì)素?cái)?shù)和對(duì)描述素?cái)?shù)的方法的理解。它遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只是滿足數(shù) 學(xué)家的好奇心。此外，它在數(shù)學(xué)中的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了素?cái)?shù)的分布模式。它還將在物理學(xué)和現(xiàn)代通信技術(shù)中產(chǎn)生影響。楊一米爾斯理論和質(zhì)量缺口假設(shè)數(shù)學(xué)發(fā)展的許多動(dòng)力來自科學(xué)，特別是來自物理學(xué)。例如，由于物理學(xué)的需要，17世紀(jì)數(shù)學(xué)家牛頓 （Isaac Newton）和萊布尼茨（Gottfried Leibniz）發(fā)明了微積分。通過 為科學(xué)家提供了描述連續(xù)運(yùn)動(dòng)的一種數(shù)學(xué)上的精確方法，微積分徹底 改變了科學(xué)。雖然牛頓和萊布尼茨的方法奏效了，但人們大約花了 250年的時(shí)間才使微積分背后的數(shù)學(xué)得以嚴(yán)格地建立起來。今天，在 過去大約半個(gè)世紀(jì)以來發(fā)展起來的物理學(xué)的某些理論中，存在著類似 的情況。這第二道千年難題向數(shù)學(xué)家發(fā)出再次趕上物理學(xué)家的挑戰(zhàn)。楊一米爾斯方程來自于量子物理學(xué)。大約50年之前，物理學(xué)家楊 振寧和米爾斯（Robert Mills）在描述除引力之外所有的自然力時(shí)建立 了這些方程。他們做了一項(xiàng)杰出的工作。來自這些方程的預(yù)測(cè)描述了 在世界各地實(shí)驗(yàn)室中觀察到的粒子。雖然從實(shí)踐的角度說楊一米爾斯 理論成功了，但它作為一個(gè)數(shù)學(xué)理論卻還沒有研究出來。在某種程度 上，這第二道千年難題是要求從公理開始，補(bǔ)上這個(gè)理論的數(shù)學(xué)發(fā)展。這種數(shù)學(xué)將必須符合一些在實(shí)驗(yàn)室中已被觀察到的情況。特別是，它 將（在數(shù)學(xué)上）確定“質(zhì)量缺口假設(shè)”，這涉及楊一米爾斯方程的假設(shè)存在 的解。這個(gè)假設(shè)已被大多數(shù)物理學(xué)家接受，它提供了電子為什么有質(zhì) 量的一種解釋。質(zhì)量缺口假設(shè)的證明被看作對(duì)楊一米爾斯理論的數(shù)學(xué) 發(fā)展的一個(gè)極好的檢驗(yàn)。它同時(shí)也使物理學(xué)家受益。他們都不能解釋 電子為什么有質(zhì)量；他們僅僅觀察到它們有質(zhì)量。P對(duì)NP問題這是唯一一個(gè)關(guān)于計(jì)算機(jī)的千年難題。許多人將 認(rèn)為這一點(diǎn)很令人意外?！爱吘?，”他們會(huì)問，“現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學(xué)問題不 都是在計(jì)算機(jī)上做的嗎？”不，事實(shí)上不是。的確，絕大多數(shù)數(shù)值計(jì)算是 在計(jì)算機(jī)上完成的，但是，數(shù)值計(jì)算僅僅是數(shù)學(xué)的很小一部分，而不是 數(shù)學(xué)的主要部分。雖然電子計(jì)算機(jī)出自于數(shù)學(xué)——在20世紀(jì)30年代，首臺(tái)計(jì)算機(jī) 建成之前數(shù)年，有關(guān)數(shù)學(xué)的最后部分被解決——但計(jì)算機(jī)領(lǐng)域迄今僅 僅產(chǎn)生了兩個(gè)值得包含在世界最重大問題之中的數(shù)學(xué)問題。這兩個(gè)問 題涉及的計(jì)算是作為概念上的過程而不是任何特殊的計(jì)算設(shè)備，然而 這不妨礙它們對(duì)真正的計(jì)算發(fā)揮重要的影響。希爾伯特把它們中的一 個(gè)作為第10個(gè)問題寫在他的1900年列表上。這個(gè)問題在1970年被 解決，它要求證明某類方程不能由計(jì)算機(jī)解出。P1-5

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