高等數(shù)學(xué)（上冊）

前言

　　科學(xué)的研究任務(wù)有兩條，正如莊子所說：“判天地之美，析萬物之理.”判天地之美，就是發(fā)現(xiàn)和鑒賞宇宙的和諧與韻律；析萬物之理，就是探索宇宙的規(guī)律，這樣，我們才能做到人與宇宙的和諧共處，而哲學(xué)、數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和社會科學(xué)是當(dāng)今指導(dǎo)社會發(fā)展的四大科學(xué)門類，其中，哲學(xué)和數(shù)學(xué)以及它們之間的交互影響是人類文化中最深刻的部分.B.Demollins說得好：“沒有數(shù)學(xué)，人們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度；而沒有兩者，人們什么也看不透?！薄　∥⒎e分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中最基本、最重要的組成部分，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)許多分支的基礎(chǔ)，是人類認(rèn)識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身的典型數(shù)學(xué)模型之一。F.Engels（恩格斯，德國哲學(xué)家，馬克思主義創(chuàng)始人之一）曾指出：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了?！蔽⒎e分的發(fā)展歷史曲折跌宕，撼人心靈，是培養(yǎng)人們正確世界觀、科學(xué)方法論以及對人們進(jìn)行文化熏陶的極好素材。希望通過高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，能夠達(dá)到這樣的目的，正如北京大學(xué)張順燕教授在《數(shù)學(xué)的美與理》中所說：“給你打開一個窗口，讓你領(lǐng)略另一個世界的風(fēng)光——數(shù)學(xué)的博大精深，數(shù)學(xué)的廣闊用場；給你一雙數(shù)學(xué)家的眼睛，豐富你觀察世界的方式；給你一顆好奇的心，點燃你胸中求知的欲望；給你一個睿智的頭腦，幫助你進(jìn)行理性思維；給你一套研究模式，使它成為你探索世界奧秘的望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡；給你提供新的機(jī)會，讓你在交叉學(xué)科中尋找樂土，利用你的勤奮和智慧去做出發(fā)明和創(chuàng)造。”　　正是這樣，數(shù)學(xué)素質(zhì)已成為現(xiàn)代人的基本素質(zhì).因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)會數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型和方法研究問題和解決問題已成為一種時尚.為此，我們將編者多年來凝結(jié)成的對數(shù)學(xué)的認(rèn)識和對教學(xué)規(guī)律的感悟，匯聚到這套教材中，為提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)盡我們的一份力量.希望無論是作為以高等數(shù)學(xué)為主課，或是選修課的大學(xué)生們，不要再感到自己就好像進(jìn)入了一個令人迷惑的地方，看著黑板上一個接一個的式子，聽著像英語而又不是英語的一種謎一樣的語言，自己就如同意外地進(jìn)入到一個極為陌生的國家中徘徊的游客一樣失落.我們努力為學(xué)生的學(xué)習(xí)和老師的傳授過程共同創(chuàng)造一種和諧的、快樂的環(huán)境.作為學(xué)生，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅是一種任務(wù)，更應(yīng)該是一種快樂.作為老師，教授數(shù)學(xué)不僅是一種職業(yè)，更應(yīng)該是一種享受?！　”窘滩募橙鴥?nèi)外眾多優(yōu)秀教材的長處，融人編者多年的教學(xué)經(jīng)驗，以提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)為宗旨，形成如下特色。

內(nèi)容概要

本教材汲取眾多國內(nèi)外優(yōu)秀教材的長處，融人編者多年的教學(xué)經(jīng)驗，以提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)為宗旨，結(jié)合輕工類的特色，突出實際應(yīng)用的訓(xùn)練，注重考研能力的培養(yǎng)，創(chuàng)設(shè)雙語教學(xué)的環(huán)境，并受到數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展歷程和數(shù)學(xué)文化的熏陶?！　”窘滩姆稚稀⑾聝蓛?。上冊內(nèi)容包括函數(shù)、極限與連續(xù)，導(dǎo)數(shù)與微分，微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不定積分，定積分及其應(yīng)用，微分方程，其中，帶“*”的內(nèi)容可根據(jù)學(xué)時或分層教學(xué)的需要選講?！　”窘滩目勺鳛楦叩葘W(xué)校輕工類各專業(yè)教材，也可用于學(xué)生自學(xué)和教師參考。

書籍目錄

前言第1章　函數(shù)　極限　連續(xù)  1.1 　函數(shù)　極坐標(biāo)    1.1.1　常量與變量    1.1.2　鄰域    1.1.3　函數(shù)    1.1.4　極坐標(biāo)　1.2　初等函數(shù)    1.2.1　復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)    1.2.2　基本初等函數(shù)    1.2.3　初等函數(shù)    1.2.4　函數(shù)模型的建立  1.3　數(shù)列的極限    1.3.1　數(shù)列極限的概念    1.3.2　收斂數(shù)列的性質(zhì)  1.4　函數(shù)的極限    1.4.1　函數(shù)極限的定義    1.4.2　函數(shù)極限的性質(zhì)    1.4.3　無窮小與無窮大  1.5　極限運(yùn)算法則    1.5.1　極限四則運(yùn)算法則    1.5.2　復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算　1.6　重要極限　無窮小的比較    1.6.1　極限存在準(zhǔn)則    1.6.2　兩個重要極限    1.6.3　無窮小的比較　1.7　函數(shù)的連續(xù)與間斷    1.7.1　連續(xù)函數(shù)的概念    1.7.2　函數(shù)的間斷點　1.8　連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)    1.8.1　連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算    1.8.2　連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)    模擬考場一    數(shù)學(xué)家史話　劉徽與祖沖之第2章　導(dǎo)數(shù)與微分  2.1　導(dǎo)數(shù)的概念    2.1.1　引例    2.1.2　導(dǎo)數(shù)的定義    2.1.3　導(dǎo)數(shù)的意義    2.1.4　函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系  2.2　函數(shù)的求導(dǎo)法則    2.2.1　函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則    2.2.2　反函數(shù)的求導(dǎo)法則    2.2.3　復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則    2.2.4　求導(dǎo)法則與基本導(dǎo)數(shù)公式　2.3　隱函數(shù)與參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    2.3.1　隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    2.3.2　參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)    2.3.3　相關(guān)變化率　2.4　高階導(dǎo)數(shù)    2.4.1　f(x)的n階導(dǎo)數(shù)    2.4.2　隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)    2.4.3　參數(shù)式函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)  2.5　函數(shù)的微分    2.5.1　微分的定義    2.5.2　微分公式與微分運(yùn)算法則    2.5.3　微分形式的不變性    2.5.4　微分在近似計算中的應(yīng)用    模擬考場二    數(shù)學(xué)家史話　科學(xué)巨擘——Newton第3章　微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用  3.1　Rolle中值定理與Lagrange中值定理    3.1.1　Rolle中值定理    3.1.2　Lagrange中值定理  3.2　Cauchy中值定理與Taylor中值定理    3.2.1　Cauchy中值定理    3.2.2　Taylor中值定理　……第4章　不定積分第5章　定積分及其應(yīng)用第6章　微分方程附錄1　常用公式附錄2　二階和三階行列式附錄3　常用曲線習(xí)題答案

章節(jié)摘錄

　　第1章 函數(shù)極限連續(xù)　　數(shù)學(xué)，如果你正確地看待它，則會發(fā)現(xiàn)它具有一種至高無上的美，一種冷峻而嚴(yán)肅的美，這種美沒有音樂和繪畫那般華麗的裝飾，它純潔到崇高的地步，達(dá)到了只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境界。　　——Russell（羅素，1872～1970，英國數(shù)學(xué)家，諾貝爾文學(xué)獎得主）　　高等數(shù)學(xué)（advancedmathematics）是高等學(xué)校的一門基礎(chǔ)理論課，許多數(shù)學(xué)分支都是在它的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，許多專業(yè)課也都是以它為基礎(chǔ)的。學(xué)好這門課程，對以后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支及專業(yè)課程都會起到重要作用。高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)有很大的差別，初等數(shù)學(xué)基本上是常量數(shù)學(xué)，它研究的對象主要是常數(shù)和常量；而高等數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)，它研究運(yùn)動與變化。高等數(shù)學(xué)以經(jīng)典微積分為主要內(nèi)容，伴以微積分的推廣及應(yīng)用。如果將整個數(shù)學(xué)學(xué)科比成一棵大樹，則初等數(shù)學(xué)是樹根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而高等數(shù)學(xué)就是樹干。作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念之一的函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象；以運(yùn)動和變化的觀點研究問題的極限理論則是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本的分析方法；連續(xù)則是高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的一種基本性態(tài)和研究問題的重要橋梁。因此，學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵就要對函數(shù)、極限和連續(xù)的概念有著深刻理解和認(rèn)識。本章將介紹函數(shù)、極限與連續(xù)的基本知識和有關(guān)的基本方法，為整個高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)?！　?.1 函數(shù)極坐標(biāo)　　1.1.1 常量與變量　　在觀察自然現(xiàn)象或科學(xué)研究中，經(jīng)常會遇到各種不同性質(zhì)和意義的量，但按其變化的性質(zhì)來劃分，可以分為常量和變量。如果一個量在事物的發(fā)展過程中是保持不變的，那么這種量就叫做常量（constant）；如果一個量在事物的發(fā)展過程中始終是變化著的，那么這種量就叫做變量（variable）?！　±?，把一個密閉容器里的氣體加熱時，氣體的體積和分子數(shù)保持不變，它們是常量；而氣體的溫度和壓力在變化，則是變量。在反應(yīng)的過程中，一般溫度和壓力都是保持一定的，這些都是常量，而反應(yīng)速率、反應(yīng)物和生成物的濃度是變化的，這些都是蠻量。

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